Решите уравнение (4/9)cos x + 2*(2/3)cos x - 3 = 0. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 4π].

Рассмотрим уравнение\[\frac{4}{9}^{\cos x} + 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\cos x} - 3 = 0.\]

Заметим, что \(\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2\). Пусть \(t = \left(\frac{2}{3}\right)^{\cos x}\), тогда уравнение примет вид:\[t^2 + 2t - 3 = 0.\]

Решим квадратное уравнение относительно \(t\). Дискриминант \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\). Корни уравнения:\[t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1,\]\[t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3.\]

Так как \(t = \left(\frac{2}{3}\right)^{\cos x} > 0\), то \(t = 1\). Тогда\[\left(\frac{2}{3}\right)^{\cos x} = 1.\]

Так как любое число в степени 0 равно 1, то \(\cos x = 0\). Решения уравнения \(\cos x = 0\) имеют вид:\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.\]

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку \([\pi; 4\pi]\). Для этого подставим различные значения \(k\) и выберем те, которые удовлетворяют условию:

• \(k = 1\): \(x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71\). \(\pi \approx 3.14, 4\pi \approx 12.57\). \(\frac{3\pi}{2}\) принадлежит отрезку.
  


• \(k = 2\): \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85\). \(\frac{5\pi}{2}\) принадлежит отрезку.
  


• \(k = 3\): \(x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} \approx 10.99\). \(\frac{7\pi}{2}\) принадлежит отрезку.
  


• \(k = 4\): \(x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \approx 14.13\). \(\frac{9\pi}{2}\) не принадлежит отрезку.
  

Таким образом, корнями уравнения, принадлежащими отрезку \([\pi; 4\pi]\), являются:\[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}.\]

Ответ: \[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}.\]