20. Решите уравнение $$\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1} - 3 = 0$$.

Давайте решим уравнение $$\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1} - 3 = 0$$. 1. **Замена переменной:** Пусть $$t = \frac{1}{x-1}$$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 2t - 3 = 0$$. 2. **Решение квадратного уравнения:** Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета, сумма корней $$t_1 + t_2 = -2$$, произведение корней $$t_1 \cdot t_2 = -3$$. Корни: $$t_1 = 1$$ и $$t_2 = -3$$. 3. **Возврат к исходной переменной:** - Случай 1: $$t_1 = 1$$ $$\frac{1}{x-1} = 1$$ $$x - 1 = 1$$ $$x = 2$$ - Случай 2: $$t_2 = -3$$ $$\frac{1}{x-1} = -3$$ $$-3(x-1) = 1$$ $$-3x + 3 = 1$$ $$-3x = -2$$ $$x = \frac{2}{3}$$ 4. **Проверка корней:** Оба корня должны быть проверены, чтобы убедиться, что они не обращают знаменатель в ноль (то есть $$x
eq 1$$). Оба корня $$x = 2$$ и $$x = \frac{2}{3}$$ удовлетворяют условию. **Ответ:** $$x = 2, x = \frac{2}{3}$$