5. Решите уравнение: log8 x + log √2x = −14

Ответ:

Ответ: \[x = \frac{1}{2^{8}}\]

1. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов: \[\log_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = -14\] \[\frac{\log_2 x}{\log_2 8} + \frac{\log_2 x}{\log_2 \sqrt{2}} = -14\]
2. Упрощаем: \[\frac{\log_2 x}{3} + \frac{\log_2 x}{\frac{1}{2}} = -14\] \[\frac{\log_2 x}{3} + 2\log_2 x = -14\]
3. Приводим к общему знаменателю: \[\frac{\log_2 x + 6\log_2 x}{3} = -14\] \[7\log_2 x = -42\]
4. Решаем уравнение относительно \(\log_2 x\): \[\log_2 x = -6\]
5. Находим \(x\): \[x = 2^{-6}\] \[x = \frac{1}{2^6}\] \[x = \frac{1}{64}\]

Ответ: \[x = \frac{1}{2^{6}}\]