Решите уравнение logx(x+2) = 2. В ответ укажите его корень. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ укажите наибольший корень уравнения. В ответ запишите целое число или конечную десятичную дробь.

Решим уравнение log_x(x + 2) = 2.

По определению логарифма, уравнение можно переписать в виде:

$$x^2 = x + 2$$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$$x^2 - x - 2 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или квадратной формулой. В данном случае, по теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Тогда корни уравнения:

$$x_1 = -1, \quad x_2 = 2$$

Теперь необходимо проверить корни на соответствие определению логарифма. Во-первых, основание логарифма должно быть положительным и не равным 1, то есть x > 0 и x ≠ 1. Во-вторых, аргумент логарифма должен быть положительным, то есть x + 2 > 0.

Проверим корень x = -1:

x > 0 не выполняется, так как -1 < 0. Поэтому x = -1 не является решением уравнения.

Проверим корень x = 2:

x > 0 выполняется, так как 2 > 0.

x ≠ 1 выполняется, так как 2 ≠ 1.

x + 2 > 0 выполняется, так как 2 + 2 = 4 > 0.

Таким образом, x = 2 является решением уравнения.

Так как у уравнения только один корень, то он и является наибольшим.

Ответ: 2