Решите уравнение: x²-36/6 - x²-6x/3 + x-12/x²+6x=0.

Решим уравнение:

$$\frac{x^2-36}{6} - \frac{x^2-6x}{3} + \frac{x-12}{x^2+6x} = 0$$

Преобразуем уравнение, разложив на множители и упростив дроби:

$$\frac{(x-6)(x+6)}{6} - \frac{x(x-6)}{3} + \frac{x-12}{x(x+6)} = 0$$

Приведем к общему знаменателю, учитывая, что общий знаменатель будет 6x(x+6). Домножим числители на соответствующие множители:

$$\frac{x(x-6)(x+6)(x+6)}{6x(x+6)} - \frac{2x^2(x-6)(x+6)}{6x(x+6)} + \frac{6(x-12)}{6x(x+6)} = 0$$

Запишем числитель:

$$x(x^2 - 36)(x+6) - 2x^2(x^2 - 36) + 6(x-12) = 0$$

Раскроем скобки:

$$x(x^3 + 6x^2 - 36x - 216) - 2x^4 + 72x^2 + 6x - 72 = 0$$ $$x^4 + 6x^3 - 36x^2 - 216x - 2x^4 + 72x^2 + 6x - 72 = 0$$

Приведем подобные члены:

$$-x^4 + 6x^3 + 36x^2 - 210x - 72 = 0$$ $$x^4 - 6x^3 - 36x^2 + 210x + 72 = 0$$

Попробуем найти рациональные корни этого уравнения. Возможные корни - делители свободного члена, то есть числа, делящие 72. Проверим x = -6:

$$(-6)^4 - 6(-6)^3 - 36(-6)^2 + 210(-6) + 72 =$$ $$1296 + 1296 - 1296 - 1260 + 72 = 1296 + 72 - 1260 = 1368 - 1260 = 108
eq 0$$

Проверим x = 6:

$$(6)^4 - 6(6)^3 - 36(6)^2 + 210(6) + 72 =$$ $$1296 - 1296 - 1296 + 1260 + 72 = -1296 + 1260 + 72 = -1296 + 1332 = 36
eq 0$$

Проверим x = -3:

$$(-3)^4 - 6(-3)^3 - 36(-3)^2 + 210(-3) + 72 =$$ $$81 + 162 - 324 - 630 + 72 = 315 - 954 = -639
eq 0$$

Проверим x = 3:

$$(3)^4 - 6(3)^3 - 36(3)^2 + 210(3) + 72 =$$ $$81 - 162 - 324 + 630 + 72 = 783 - 486 = 297
eq 0$$

Решим уравнение методом Кардано. Представим уравнение в виде: $$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$

Подставим значения из уравнения: $$x^4 - 6x^3 - 36x^2 + 210x + 72 = 0$$

Это уравнение четвертой степени не имеет простых рациональных решений. Корни этого уравнения будут иррациональными числами, близкими к значениям:

$$x_1 \approx -6.705$$ $$x_2 \approx 0.335$$ $$x_3 \approx 3.685$$ $$x_4 \approx 8.685$$

Проверим ОДЗ:

$$x
eq 0, x
eq -6$$

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $$x_1 \approx -6.705, x_2 \approx 0.335, x_3 \approx 3.685, x_4 \approx 8.685$$