165. Решите уравнение: 2 x² + 8x 20 1) = x+10 x + 10'; 2x²-3x 2x-2 2) = ; x²-4 x²-4 5x +3 3x + 1 3) = ; x+5 x+2 1 11. = 4) -; x+3x+54';

Ответ:

1) \[\frac{x^2 + 8x}{x+10} = \frac{20}{x+10};\]

\[x^2 + 8x = 20;\] \[x^2 + 8x - 20 = 0;\] Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144;\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2;\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10.\] Проверяем корни на допустимость: Если \(x = -10\), то знаменатель обращается в нуль, следовательно, этот корень не подходит.

Ответ: x = 2

2) \[\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4} = \frac{2x - 2}{x^2 - 4};\]

\[2x^2 - 3x = 2x - 2;\] \[2x^2 - 5x + 2 = 0;\] Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9;\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2;\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5.\] Проверяем корни на допустимость: Если \(x = 2\) или \(x = -2\), то знаменатель обращается в нуль, следовательно, корень \(x = 2\) не подходит.

Ответ: x = 0.5

3) \[\frac{5x + 3}{x+5} = \frac{3x + 1}{x+2};\]

Перемножаем крест-накрест: \[(5x + 3)(x + 2) = (3x + 1)(x + 5);\] \[5x^2 + 10x + 3x + 6 = 3x^2 + 15x + x + 5;\] \[5x^2 + 13x + 6 = 3x^2 + 16x + 5;\] \[2x^2 - 3x + 1 = 0;\] Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1;\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1;\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5.\]

Ответ: x = 1, x = 0.5

4) \[\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+5} = \frac{1}{4};\]

Приводим к общему знаменателю: \[\frac{(x+5) - (x+3)}{(x+3)(x+5)} = \frac{1}{4};\] \[\frac{x + 5 - x - 3}{x^2 + 5x + 3x + 15} = \frac{1}{4};\] \[\frac{2}{x^2 + 8x + 15} = \frac{1}{4};\] \[x^2 + 8x + 15 = 8;\] \[x^2 + 8x + 7 = 0;\] Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36;\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1;\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 6}{2} = \frac{-14}{2} = -7.\]

Ответ: x = -1, x = -7