Решите уравнение: x³-3x²-8x+24=0. (x-2)²(x-3)=12(x-2). (x+5)²=25(x+5). -3x²-14x-7=(x-1)². x⁴=(x-20)².

Решим уравнения:

1. $$x^3-3x^2-8x+24 = 0$$
   Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $$x^2(x-3)-8(x-3)=0$$
   $$(x-3)(x^2-8)=0$$
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $$x-3=0$$ или $$x^2-8=0$$
   $$x=3$$ или $$x^2=8$$
   $$x=3$$ или $$x=\pm\sqrt{8}$$
   $$x=3$$ или $$x=\pm2\sqrt{2}$$
   Ответ: $$x=3; x=2\sqrt{2}; x=-2\sqrt{2}$$
2. $$(x-2)^2(x-3)=12(x-2)$$
   $$(x-2)^2(x-3)-12(x-2)=0$$
   Вынесем общий множитель за скобки: $$(x-2)((x-2)(x-3)-12)=0$$
   $$(x-2)(x^2-3x-2x+6-12)=0$$
   $$(x-2)(x^2-5x-6)=0$$
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
   $$x-2=0$$ или $$x^2-5x-6=0$$
   $$x=2$$
   Решим квадратное уравнение $$x^2-5x-6=0$$
   По теореме Виета: $$x_1+x_2=5$$
   $$x_1x_2=-6$$
   $$x_1=6, x_2=-1$$
   Ответ: $$x=2; x=6; x=-1$$
3. $$(x+5)^2=25(x+5)$$
   $$(x+5)^2-25(x+5)=0$$
   Вынесем общий множитель за скобки: $$(x+5)(x+5-25)=0$$
   $$(x+5)(x-20)=0$$
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
   $$x+5=0$$ или $$x-20=0$$
   $$x=-5$$ или $$x=20$$
   Ответ: $$x=-5; x=20$$
4. $$-3x^2-14x-7=(x-1)^2$$
   $$-3x^2-14x-7=x^2-2x+1$$
   Перенесем все в правую часть:
   $$x^2+3x^2-2x+14x+1+7=0$$
   $$4x^2+12x+8=0$$
   Разделим обе части на 4:
   $$x^2+3x+2=0$$
   По теореме Виета: $$x_1+x_2=-3$$
   $$x_1x_2=2$$
   $$x_1=-1, x_2=-2$$
   Ответ: $$x=-1; x=-2$$
5. $$x^4=(x-20)^2$$
   $$x^4-(x-20)^2=0$$
   Разложим на множители, используя формулу разности квадратов: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
   $$(x^2-(x-20))(x^2+(x-20))=0$$
   $$(x^2-x+20)(x^2+x-20)=0$$
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
   $$x^2-x+20=0$$ или $$x^2+x-20=0$$
   Найдем дискриминант для первого уравнения:
   $$D = b^2-4ac = (-1)^2-4*1*20 = 1-80 = -79$$
   Дискриминант меньше нуля, значит, уравнение не имеет действительных корней.
   Решим второе уравнение $$x^2+x-20=0$$
   По теореме Виета: $$x_1+x_2=-1$$
   $$x_1x_2=-20$$
   $$x_1=-5, x_2=4$$
   Ответ: $$x=-5; x=4$$