1. Решите уравнение: 5x+14 x² a) x²-4 = x²-4 ; 8 10 б) х-3 = x = 2.

Решение уравнения a)

Давай решим уравнение \[\frac{5x+14}{x^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4}.\]

ОДЗ: x²-4 ≠ 0, значит x ≠ ±2.

Умножим обе части уравнения на x²-4 (учитывая, что x ≠ ±2):

\[5x + 14 = x^2\]

Перенесем все в правую часть:

\[x^2 - 5x - 14 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Но x ≠ -2, так как это значение исключается из ОДЗ. Следовательно, корень x = -2 не подходит.

Таким образом, остается только один корень: x = 7.

Ответ: x = 7

Решение уравнения б)

Давай решим уравнение \[\frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2.\]

ОДЗ: x ≠ 3 и x ≠ 0.

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{8x - 10(x-3)}{x(x-3)} = 2\] \[\frac{8x - 10x + 30}{x^2 - 3x} = 2\] \[\frac{-2x + 30}{x^2 - 3x} = 2\]

Умножим обе части уравнения на x² - 3x (учитывая, что x ≠ 3 и x ≠ 0):

\[-2x + 30 = 2(x^2 - 3x)\] \[-2x + 30 = 2x^2 - 6x\]

Перенесем все в правую часть:

\[2x^2 - 6x + 2x - 30 = 0\] \[2x^2 - 4x - 30 = 0\]

Разделим обе части на 2:

\[x^2 - 2x - 15 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x = 5, x = -3

Ты отлично справился с решением этих уравнений! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!