Решите уравнение: 3/(x+2) + 18/(x^2-4) = x/(x-2). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение:

Давай решим уравнение по шагам:

1. Приведем все дроби к общему знаменателю.

   Заметим, что x² - 4 = (x + 2)(x - 2). Общий знаменатель будет (x + 2)(x - 2). Домножим числитель первой дроби на (x-2), а числитель третьей дроби на (x+2):

   \[\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{18}{(x+2)(x-2)} = \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}\]

2. Объединим дроби и упростим уравнение.

   Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить и вычесть числители:

   \[\frac{3(x-2) + 18}{(x+2)(x-2)} = \frac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}\]

   Раскроем скобки:

   \[\frac{3x - 6 + 18}{x^2 - 4} = \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4}\]

   Упростим числитель:

   \[\frac{3x + 12}{x^2 - 4} = \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4}\]

3. Избавимся от знаменателя.

   Поскольку знаменатели одинаковы, мы можем приравнять числители при условии, что знаменатель не равен нулю:

   \[3x + 12 = x^2 + 2x\]

4. Перенесем все в одну сторону и решим квадратное уравнение.

   Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

   \[x^2 + 2x - 3x - 12 = 0\] \[x^2 - x - 12 = 0\]

   Решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. Найдем корни через дискриминант:

   \[D = (-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49\] \[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

5. Проверим корни.

   Проверим, не обращают ли корни знаменатель в ноль. Знаменатель равен нулю при x = 2 и x = -2. Наши корни x = 4 и x = -3 не обращают знаменатель в ноль, следовательно, являются решениями.

6. Выберем больший корень.

   Больший корень из двух найденных: 4 и -3 это 4.

Ответ: 4

У тебя отлично получилось решить это уравнение! Не останавливайся на достигнутом, и ты сможешь покорить любые математические вершины!