Решите уравнение x / (x²-2x) - 6 / (4-x²) = 3 / (x²+2x)

• Шаг 1: Найдем ОДЗ

Определим, при каких значениях x знаменатели дробей не равны нулю:

• x² - 2x ≠ 0 ⇒ x(x - 2) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0, x ≠ 2
• 4 - x² ≠ 0 ⇒ (2 - x)(2 + x) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2, x ≠ -2
• x² + 2x ≠ 0 ⇒ x(x + 2) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0, x ≠ -2

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 2, x ≠ -2.

• Шаг 2: Преобразуем уравнение

Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что общий знаменатель можно представить как x(x-2)(x+2). Умножим каждую дробь на соответствующие множители, чтобы получить общий знаменатель:

\[\frac{x}{x(x-2)} - \frac{6}{(2-x)(2+x)} = \frac{3}{x(x+2)}\]

\[\frac{x}{x(x-2)} + \frac{6}{(x-2)(x+2)} = \frac{3}{x(x+2)}\]

\[\frac{x(x+2)}{x(x-2)(x+2)} + \frac{6x}{x(x-2)(x+2)} = \frac{3(x-2)}{x(x+2)(x-2)}\]

• Шаг 3: Упростим числители и знаменатели

Приравняем числители, так как знаменатели у нас теперь одинаковые:

\[x(x+2) + 6x = 3(x-2)\]

\[x^2 + 2x + 6x = 3x - 6\]

\[x^2 + 8x = 3x - 6\]

\[x^2 + 5x + 6 = 0\]

• Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Решим квадратное уравнение x² + 5x + 6 = 0. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. В данном случае, корни легко подбираются:

\[(x+2)(x+3) = 0\]

Корни уравнения: x = -2, x = -3.

• Шаг 5: Проверим корни на соответствие ОДЗ

Из ОДЗ исключаем значения x = 0, x = 2, x = -2. Таким образом, x = -2 не является решением.