4. Решите уравнение x(9x² + 6x + 1) = 2(3x + 1)

Решим уравнение: $$x(9x^2 + 6x + 1) = 2(3x + 1)$$.

1. Раскроем скобки: $$9x^3 + 6x^2 + x = 6x + 2$$.
2. Перенесем все в левую часть: $$9x^3 + 6x^2 + x - 6x - 2 = 0$$.
3. Приведем подобные слагаемые: $$9x^3 + 6x^2 - 5x - 2 = 0$$.
4. Заметим, что $$3x + 1$$ является множителем выражения $$9x^3 + 6x^2 - 5x - 2$$. Разделим столбиком $$9x^3 + 6x^2 - 5x - 2$$ на $$(3x + 1)$$.

        3x^2 + x - 2
3x + 1 | 9x^3 + 6x^2 - 5x - 2
       -9x^3 - 3x^2
       ----------------
              3x^2 - 5x
              -3x^2 - x
              ----------------
                     -6x - 2
                     +6x + 2
                     ----------------
                            0

5. Получаем $$9x^3 + 6x^2 - 5x - 2 = (3x + 1)(3x^2 + x - 2) = 0$$.
6. Решим уравнение $$(3x + 1)(3x^2 + x - 2) = 0$$.
7. $$3x + 1 = 0$$ или $$3x^2 + x - 2 = 0$$.
8. Из $$3x + 1 = 0$$ получаем $$x = -\frac{1}{3}$$.
9. Решим $$3x^2 + x - 2 = 0$$ через дискриминант:
   • $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$$.
   • $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$.
   • $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$.

Ответ: $$-1; -\frac{1}{3}; \frac{2}{3}$$