Решите уравнения (164—168). 164. a) 2 sin²x+sinx-1=0; B) 2 sin²x - sinx-1=0; 165. a) 6 cos² x + cosx-1=0; в) 4 cos²x-8 cosx+3=0; 166. a) 2 cos²x+sinx+1=0; B) 4 cos x=4-sin²x; 167. a) 3 tg2x+2 tgx-1=0; B) 2 tg²x+3 tgx-2=0; 168. a) 2 cos²x+√3 cos x x=0; = B) √3 tg²x-3 tg x=0; 6) 3 sin²x-5 sinx-2=0; r) 4 sin²x+11 sin x-3=0. 6) 2 sin²x +3 cos x=0; r) 5 sin²x+6cosx-6=0. 6) cos²x+3 sin x=3; r) 8 sin²x + cosx+1=0. 6) tgx-2 ctg x+1=0; r) 2 ctgx-3 tgx+5=0. 6) 4 cos²x-3=0; r) 4 sin²x-1=0.

Question

Вопрос:

Решите уравнения (164—168). 164. a) 2 sin²x+sinx-1=0; B) 2 sin²x - sinx-1=0; 165. a) 6 cos² x + cosx-1=0; в) 4 cos²x-8 cosx+3=0; 166. a) 2 cos²x+sinx+1=0; B) 4 cos x=4-sin²x; 167. a) 3 tg2x+2 tgx-1=0; B) 2 tg²x+3 tgx-2=0; 168. a) 2 cos²x+√3 cos x x=0; = B) √3 tg²x-3 tg x=0; 6) 3 sin²x-5 sinx-2=0; r) 4 sin²x+11 sin x-3=0. 6) 2 sin²x +3 cos x=0; r) 5 sin²x+6cosx-6=0. 6) cos²x+3 sin x=3; r) 8 sin²x + cosx+1=0. 6) tgx-2 ctg x+1=0; r) 2 ctgx-3 tgx+5=0. 6) 4 cos²x-3=0; r) 4 sin²x-1=0.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Для решения тригонометрических уравнений необходимо уметь приводить их к простейшим видам и использовать основные тригонометрические тождества. Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

164. a) 2 sin²x + sinx - 1 = 0

Введём замену переменной: $$t = sin x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$2t^2 + t - 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 - 4 cdot 2 cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

$$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Теперь вернёмся к замене:

$$sin x = \frac{1}{2}$$

$$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$sin x = -1$$

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$; $$x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

164. б) 3 sin²x - 5 sinx - 2 = 0

Введём замену переменной: $$t = sin x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$3t^2 - 5t - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$

$$t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Теперь вернёмся к замене:

$$sin x = 2$$

Это уравнение не имеет решений, так как $$|sin x| \le 1$$.

$$sin x = -\frac{1}{3}$$

$$x = (-1)^n arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = (-1)^{n+1} arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = (-1)^{n+1} arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$