Решите уравнения: 1) \( \log_{4}x > 2 \); 2) \( \log_{3}x = -2 \); 3) \( \log_{4}(1 - 2x) = 3 \); 4) \( \log_{3}(2 - x) = \log_{3}x \); 5) \( \log_{\frac{1}{3}}(2x - 3) = -2 \); 6) \( \log_{\frac{1}{2}}(x^{2} - 3x + 1) = 0 \); 7) \( \log_{3}\log_{3}\log_{3}x = 0 \); 8) \( \log_{2}(x - 7) = \log_{2}(11 - x) \); 9) \( \log_{4}(x - 5) = \log_{4}(2 - x) \); 10) \( \log_{3}(x^{2} - 4x) = \log_{3}(3 - 2x) \); 11) \( \log_{2}x + \log_{2}x = 3 \); 12) \( \frac{\log_{2}x^{2}}{\log_{2}3} = 2 \).

Решения уравнений:

1. \( \log_{4}x > 2 \)

   Логика такая: Чтобы решить это неравенство, нужно вспомнить свойства логарифмов. А именно, если основание логарифма больше 1 (в данном случае 4 > 1), то знак неравенства сохраняется при переходе к аргументу логарифма.

   Смотри, как это работает:

   • \( x > 4^{2} \)
   • \( x > 16 \)

   Ответ: \( x > 16 \)

2. \( \log_{3}x = -2 \)

   Разбираемся: Здесь нужно просто применить определение логарифма.

   • \( x = 3^{-2} \)
   • \( x = \frac{1}{3^{2}} \)
   • \( x = \frac{1}{9} \)

   Ответ: \( x = \frac{1}{9} \)

3. \( \log_{4}(1 - 2x) = 3 \)

   Разбираемся:

   • \( 1 - 2x = 4^{3} \)
   • \( 1 - 2x = 64 \)
   • \( -2x = 63 \)
   • \( x = -\frac{63}{2} \)

   Ответ: \( x = -31.5 \)

4. \( \log_{3}(2 - x) = \log_{3}x \)

   Логика такая: Если логарифмы равны и основания одинаковы, то и аргументы равны.

   • \( 2 - x = x \)
   • \( 2 = 2x \)
   • \( x = 1 \)

   Ответ: \( x = 1 \)

5. \( \log_{\frac{1}{3}}(2x - 3) = -2 \)

   Разбираемся:

   • \( 2x - 3 = (\frac{1}{3})^{-2} \)
   • \( 2x - 3 = 3^{2} \)
   • \( 2x - 3 = 9 \)
   • \( 2x = 12 \)
   • \( x = 6 \)

   Ответ: \( x = 6 \)

6. \( \log_{\frac{1}{2}}(x^{2} - 3x + 1) = 0 \)

   Разбираемся:

   • \( x^{2} - 3x + 1 = (\frac{1}{2})^{0} \)
   • \( x^{2} - 3x + 1 = 1 \)
   • \( x^{2} - 3x = 0 \)
   • \( x(x - 3) = 0 \)
   • \( x = 0 \) или \( x = 3 \)

   Ответ: \( x = 0, 3 \)

7. \( \log_{3}\log_{3}\log_{3}x = 0 \)

   Разбираемся:

   • \( \log_{3}\log_{3}x = 3^{0} \)
   • \( \log_{3}\log_{3}x = 1 \)
   • \( \log_{3}x = 3^{1} \)
   • \( \log_{3}x = 3 \)
   • \( x = 3^{3} \)
   • \( x = 27 \)

   Ответ: \( x = 27 \)

8. \( \log_{2}(x - 7) = \log_{2}(11 - x) \)

   Логика такая: Снова, если логарифмы равны и основания одинаковы, то и аргументы равны.

   • \( x - 7 = 11 - x \)
   • \( 2x = 18 \)
   • \( x = 9 \)

   Ответ: \( x = 9 \)

9. \( \log_{4}(x - 5) = \log_{4}(2 - x) \)

   Логика такая: И опять, если логарифмы равны и основания одинаковы, то и аргументы равны.

   • \( x - 5 = 2 - x \)
   • \( 2x = 7 \)
   • \( x = \frac{7}{2} \)

   Ответ: \( x = \frac{7}{2} = 3.5 \)

10. \( \log_{3}(x^{2} - 4x) = \log_{3}(3 - 2x) \)

    Разбираемся:

    • \( x^{2} - 4x = 3 - 2x \)
    • \( x^{2} - 2x - 3 = 0 \)

    Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-2)^{2} - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \)

    • \( x_{1} = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
    • \( x_{2} = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)

    Ответ: \( x = 3, -1 \)

11. \( \log_{2}x + \log_{2}x = 3 \)

    Логика такая: Используем свойство логарифмов: \( \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc) \)

    • \( \log_{2}(x \cdot x) = 3 \)
    • \( \log_{2}(x^{2}) = 3 \)
    • \( x^{2} = 2^{3} \)
    • \( x^{2} = 8 \)
    • \( x = \sqrt{8} \)
    • \( x = 2\sqrt{2} \)

    Ответ: \( x = 2\sqrt{2} \)

12. \( \frac{\log_{2}x^{2}}{\log_{2}3} = 2 \)

    Разбираемся:

    • \( \log_{3}x^{2} = 2 \)
    • \( x^{2} = 3^{2} \)
    • \( x^{2} = 9 \)
    • \( x = 3 \)

    Ответ: \( x = 3 \)