Решите уравнения (164-168). 164. a) 2 sin²x + sin x - 1 = 0; B) 2 sin²x - sinx - 1 = 0; 165. a) 6 cos² x + cos x - 1 = 0; B) 4 cos² x 8 cos x + 3 = 0; 166.- a) 2 cos²x + sin x + 1 = 0; B) 4 cos x = 4 - sin² x; 167. a) 3 tg²x+2tgx-1 = 0; B) 2 tg² x + 3 tgx-2=0; 168. a) 2cos²x + √3cosx = 0; B) √3 tg²x-3 tg x = 0;

Ответ: Решения уравнений представлены ниже.

164. a) 2 sin²x + sin x - 1 = 0

• Пусть sin x = t, тогда уравнение принимает вид: 2t² + t - 1 = 0.
• Решаем квадратное уравнение: D = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.
• t₁ = (-1 + 3) / 4 = 0.5
• t₂ = (-1 - 3) / 4 = -1
• Возвращаемся к замене: sin x = 0.5 или sin x = -1.
• Для sin x = 0.5: x = (-1)^n * arcsin(0.5) + πn = (-1)^n * π/6 + πn, где n ∈ Z.
• Для sin x = -1: x = -π/2 + 2πk, где k ∈ Z.

164. б) 2 sin²x - sin x - 1 = 0

• Пусть sin x = t, тогда уравнение принимает вид: 2t² - t - 1 = 0.
• Решаем квадратное уравнение: D = (-1)² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.
• t₁ = (1 + 3) / 4 = 1
• t₂ = (1 - 3) / 4 = -0.5
• Возвращаемся к замене: sin x = 1 или sin x = -0.5.
• Для sin x = 1: x = π/2 + 2πn, где n ∈ Z.
• Для sin x = -0.5: x = (-1)^n * arcsin(-0.5) + πn = (-1)^n * (-π/6) + πn, где n ∈ Z.

165. a) 6 cos² x + cos x - 1 = 0

• Пусть cos x = t, тогда уравнение принимает вид: 6t² + t - 1 = 0.
• Решаем квадратное уравнение: D = 1² - 4 * 6 * (-1) = 1 + 24 = 25.
• t₁ = (-1 + 5) / 12 = 1/3
• t₂ = (-1 - 5) / 12 = -0.5
• Возвращаемся к замене: cos x = 1/3 или cos x = -0.5.
• Для cos x = 1/3: x = ±arccos(1/3) + 2πn, где n ∈ Z.
• Для cos x = -0.5: x = ±arccos(-0.5) + 2πk = ±2π/3 + 2πk, где k ∈ Z.

165. б) 4 cos² x - 8 cos x + 3 = 0

• Пусть cos x = t, тогда уравнение принимает вид: 4t² - 8t + 3 = 0.
• Решаем квадратное уравнение: D = (-8)² - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16.
• t₁ = (8 + 4) / 8 = 1.5 (не подходит, так как |cos x| ≤ 1)
• t₂ = (8 - 4) / 8 = 0.5
• Возвращаемся к замене: cos x = 0.5.
• x = ±arccos(0.5) + 2πn = ±π/3 + 2πn, где n ∈ Z.

166. a) 2 cos²x + sin x + 1 = 0

• Используем основное тригонометрическое тождество: cos²x = 1 - sin²x.
• Уравнение принимает вид: 2(1 - sin²x) + sin x + 1 = 0.
• 2 - 2sin²x + sin x + 1 = 0
• -2sin²x + sin x + 3 = 0
• Умножаем на -1: 2sin²x - sin x - 3 = 0.
• Пусть sin x = t, тогда уравнение принимает вид: 2t² - t - 3 = 0.
• D = (-1)² - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25.
• t₁ = (1 + 5) / 4 = 1.5 (не подходит, так как |sin x| ≤ 1)
• t₂ = (1 - 5) / 4 = -1
• Возвращаемся к замене: sin x = -1.
• x = -π/2 + 2πn, где n ∈ Z.

166. б) 4 cos x = 4 - sin² x

• Используем основное тригонометрическое тождество: sin²x = 1 - cos²x.
• Уравнение принимает вид: 4 cos x = 4 - (1 - cos² x).
• 4 cos x = 3 + cos² x
• cos² x - 4 cos x + 3 = 0
• Пусть cos x = t, тогда уравнение принимает вид: t² - 4t + 3 = 0.
• D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4.
• t₁ = (4 + 2) / 2 = 3 (не подходит, так как |cos x| ≤ 1)
• t₂ = (4 - 2) / 2 = 1
• Возвращаемся к замене: cos x = 1.
• x = 2πn, где n ∈ Z.

167. a) 3 tg²x + 2 tg x - 1 = 0

• Пусть tg x = t, тогда уравнение принимает вид: 3t² + 2t - 1 = 0.
• D = 2² - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16.
• t₁ = (-2 + 4) / 6 = 1/3
• t₂ = (-2 - 4) / 6 = -1
• Возвращаемся к замене: tg x = 1/3 или tg x = -1.
• Для tg x = 1/3: x = arctg(1/3) + πn, где n ∈ Z.
• Для tg x = -1: x = -π/4 + πk, где k ∈ Z.

167. б) 2 tg² x + 3 tg x - 2 = 0

• Пусть tg x = t, тогда уравнение принимает вид: 2t² + 3t - 2 = 0.
• D = 3² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.
• t₁ = (-3 + 5) / 4 = 0.5
• t₂ = (-3 - 5) / 4 = -2
• Возвращаемся к замене: tg x = 0.5 или tg x = -2.
• Для tg x = 0.5: x = arctg(0.5) + πn, где n ∈ Z.
• Для tg x = -2: x = arctg(-2) + πk, где k ∈ Z.

168. a) 2 cos²x + √3 cosx = 0

• Выносим cos x за скобки: cos x (2 cos x + √3) = 0.
• cos x = 0 или 2 cos x + √3 = 0.
• Для cos x = 0: x = π/2 + πn, где n ∈ Z.
• Для 2 cos x + √3 = 0: cos x = -√3/2.
• x = ±arccos(-√3/2) + 2πk = ±5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.

168. б) √3 tg²x - 3 tg x = 0

• Выносим tg x за скобки: tg x (√3 tg x - 3) = 0.
• tg x = 0 или √3 tg x - 3 = 0.
• Для tg x = 0: x = πn, где n ∈ Z.
• Для √3 tg x - 3 = 0: tg x = 3 / √3 = √3.
• x = arctg(√3) + πk = π/3 + πk, где k ∈ Z.

Ответ: Решения уравнений представлены выше.