Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Решите уравнения: 1) \(\sin x+\sin 3x=0\); 2) \(\sin 7x-\sin 3x=0\); 3) \(\cos 3x+\cos x=0\); 4) \(\cos 3x-\cos x=0\).Фото задания

Ответ:

  1. Применим формулу суммы синусов:

    \(\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x=0\).

    Отсюда \(\sin 2x=0\) или \(\cos x=0\). Второе множество решений входит в первое, поэтому \(2x=\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

    Ответ: \(x=\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z\).

  2. Применим формулу разности синусов:

    \(\sin 7x-\sin 3x=2\cos 5x\sin 2x=0\).

    Тогда \(\cos 5x=0\) или \(\sin 2x=0\).

    Из \(\cos 5x=0\): \(5x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), поэтому \(x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}\).

    Из \(\sin 2x=0\): \(2x=\pi k\), поэтому \(x=\frac{\pi k}{2}\), где \(k\in\mathbb Z\).

    Ответ: \(x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}\) или \(x=\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z\).

  3. Применим формулу суммы косинусов:

    \(\cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x=0\).

    Из \(\cos 2x=0\): \(2x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), значит \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\).

    Из \(\cos x=0\): \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

    Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\) или \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).

  4. Применим формулу разности косинусов:

    \(\cos 3x-\cos x=-2\sin 2x\sin x=0\).

    Получаем \(\sin 2x=0\) или \(\sin x=0\). Решения второго уравнения уже входят в решения первого: \(2x=\pi k\).

    Ответ: \(x=\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z\).