Решите уравнения: 1) $\sqrt{3x-2}=14$; 2) $\sqrt{2-x}=x$; 3) $x-1=\sqrt{6+2x}$; 4) $\sqrt{x+13}-\sqrt{x+1}=2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите уравнения: 1) $\sqrt{3x-2}=14$; 2) $\sqrt{2-x}=x$; 3) $x-1=\sqrt{6+2x}$; 4) $\sqrt{x+13}-\sqrt{x+1}=2$.$ Фото задания

Accepted Answer

$\sqrt{3x-2}=14$. Возведём обе части в квадрат: $3x-2=196$, поэтому $3x=198$ и $x=66$. Проверка: $\sqrt{3\cdot66-2}=\sqrt{196}=14$.
$\sqrt{2-x}=x$. Так как квадратный корень неотрицателен, необходимо $x\geq0$; также подкоренное выражение требует $x\leq2$. Возводим в квадрат: $2-x=x^2$, откуда $x^2+x-2=0$, то есть $(x+2)(x-1)=0$. Корни: $x=-2$ и $x=1$. Условию $0\leq x\leq2$ удовлетворяет только $x=1$. Проверка: $\sqrt{2-1}=1$.
$x-1=\sqrt{6+2x}$. Правая часть неотрицательна, значит, $x\geq1$. Возводим в квадрат: $(x-1)^2=6+2x$, откуда $x^2-4x-5=0$, то есть $(x-5)(x+1)=0$. Получаем $x=5$ или $x=-1$; условию $x\geq1$ удовлетворяет только $x=5$. Проверка: $5-1=\sqrt{6+2\cdot5}=4$.
$\sqrt{x+13}-\sqrt{x+1}=2$. Область определения: $x\geq-1$. Обозначим $a=\sqrt{x+13}$, $b=\sqrt{x+1}$. Тогда $a-b=2$, а $a^2-b^2=12$. Поэтому $(a-b)(a+b)=12$, откуда $a+b=6$. Решая систему $a-b=2$, $a+b=6$, получаем $a=4$, $b=2$. Следовательно, $x+1=b^2=4$, значит, $x=3$. Проверка: $\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$.

Ответ: 1) $66$; 2) $1$; 3) $5$; 4) $3$.

Решите уравнения: 1) \(\sqrt{3x-2}=14\); 2) \(\sqrt{2-x}=x\); 3) \(x-1=\sqrt{6+2x}\); 4) \(\sqrt{x+13}-\sqrt{x+1}=2\).