Решите уравнения: 1 вариант: 1) 2 sin x = -√2; 2) 2 cos x = √2 3) tg 2x = √3 2 вариант: 1) sin x = √2/2 2) cos 3x = √3/2

1 вариант:

1. 1) 2 sin x = -√2

   Разделим обе части на 2:

   \[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

   Основные решения для этого уравнения:

   \[ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. 2) 2 cos x = √2

   Разделим обе части на 2:

   \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

   Основные решения для этого уравнения:

   \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

3. 3) tg 2x = √3

   Сделаем замену переменной: пусть \( y = 2x \).

   \[ \tan y = \sqrt{3} \]

   Основное решение для тангенса:

   \[ y = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

   Теперь вернемся к замене \( y = 2x \):

   \[ 2x = \frac{\pi}{3} + \pi n \]

   Разделим обе части на 2:

   \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2 вариант:

1. 1) sin x = √2/2

   Основные решения для этого уравнения:

   \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. 2) cos 3x = √3/2

   Сделаем замену переменной: пусть \( y = 3x \).

   \[ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

   Основные решения для этого уравнения:

   \[ y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

   Теперь вернемся к замене \( y = 3x \):

   \[ 3x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 3x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \]

   Разделим обе части на 3:

   \[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \]