Решите уравнения: 1) |x| + 6 = 13; 2) |x| − 7 = −12; 3) 7|x| − 3 = 0; 4) |x − 5| = 4; 5) |9 + x| = 0; 6) |x − 4| = −2; 7) |3x + 4| = 2; 8) |2x + 1| + 13 = 14; 9) ||x| − 3| = 5.

Используем свойства модуля: \(|a|=b\) при \(b>0\) даёт случаи \(a=b\) или \(a=-b\); модуль неотрицателен.

1. \(|x|=13-6=7\), поэтому \(x=\pm7\).
2. \(|x|=-12+7=-5\). Модуль не может быть отрицательным, решений нет.
3. \(7|x|=3\), значит \(|x|=\dfrac{3}{7}\), поэтому \(x=\pm\dfrac{3}{7}\).
4. \(x-5=4\) или \(x-5=-4\); следовательно, \(x=9\) или \(x=1\).
5. Модуль равен нулю только при нулевом выражении: \(9+x=0\), значит \(x=-9\).
6. Модуль не может равняться \(-2\), решений нет.
7. \(3x+4=2\) или \(3x+4=-2\); откуда \(x=-\dfrac{2}{3}\) или \(x=-2\).
8. \(|2x+1|=1\). Тогда \(2x+1=1\) или \(2x+1=-1\), поэтому \(x=0\) или \(x=-1\).
9. Пусть \(u=|x|\), где \(u\ge0\). Тогда \(|u-3|=5\), то есть \(u-3=5\) или \(u-3=-5\). Получаем \(u=8\) или \(u=-2\); второй вариант невозможен, так как \(u\ge0\). Значит, \(|x|=8\) и \(x=\pm8\).

Ответ: 1) \(x=\pm7\); 2) решений нет; 3) \(x=\pm\dfrac{3}{7}\); 4) \(x=1,9\); 5) \(x=-9\); 6) решений нет; 7) \(x=-2,-\dfrac{2}{3}\); 8) \(x=-1,0\); 9) \(x=\pm8\).