Решите уравнения: 2 * (1/7)^(3x+7) - 7 * (1/7)^(3x+8) = 49

Решение:

Исходное уравнение:

\[ 2 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} - 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+8} = 49 \]

Перепишем уравнение, используя свойства степеней:

\[ 2 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x} \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{7} - 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x} \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{8} = 49 \]

Сделаем замену переменной: Пусть \( y = \left( \frac{1}{7} \right)^{3x} \).

\[ 2 \cdot y \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{7} - 7 \cdot y \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{8} = 49 \]

Упростим выражение:

\[ y \left( 2 \cdot \frac{1}{7^7} - 7 \cdot \frac{1}{7^8} \right) = 49 \]

\[ y \left( \frac{2}{7^7} - \frac{7}{7^8} \right) = 49 \]

\[ y \left( \frac{2 \cdot 7}{7^8} - \frac{7}{7^8} \right) = 49 \]

\[ y \left( \frac{14}{7^8} - \frac{7}{7^8} \right) = 49 \]

\[ y \left( \frac{7}{7^8} \right) = 49 \]

\[ y \left( \frac{1}{7^7} \right) = 49 \]

\[ y = 49 \cdot 7^7 \]

\[ y = 7^2 \cdot 7^7 = 7^9 \]

Теперь вернемся к замене переменной:

\[ \left( \frac{1}{7} \right)^{3x} = 7^9 \]

\[ 7^{-3x} = 7^9 \]

Приравниваем показатели степени:

\[ -3x = 9 \]

\[ x = \frac{9}{-3} = -3 \]

Проверка:

\[ 2 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3(-3)+7} - 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3(-3)+8} = 2 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{-9+7} - 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{-9+8} \]

\[ = 2 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{-2} - 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{-1} = 2 \cdot 7^2 - 7 \cdot 7^1 \]

\[ = 2 \cdot 49 - 7 \cdot 7 = 98 - 49 = 49 \]

Равенство выполняется.

Ответ: x = -3.