Решите уравнения: a) 2x² - 7x + 5 = 0 (8 баллов); 6) (√3 - x)(√3 + x) = 2 (8 баллов); B) x/(x + 2) + 4/(x - 3) = 20/(x² - x - 6) (12 баллов).

Задание 2. Решение уравнений

а) Квадратное уравнение:

Дано квадратное уравнение 2x² - 7x + 5 = 0. Для его решения используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac, где a=2, b=-7, c=5.

Шаг 1: Вычисляем дискриминант

D = (-7)² - 4 * 2 * 5 = 49 - 40 = 9

Шаг 2: Находим корни уравнения

Корни находятся по формуле: x = (-b ± √D) / 2a.

x₁ = (7 + √9) / (2 * 2) = (7 + 3) / 4 = 10 / 4 = 2.5

x₂ = (7 - √9) / (2 * 2) = (7 - 3) / 4 = 4 / 4 = 1

Ответ: x₁ = 2.5, x₂ = 1

б) Уравнение с корнем:

Дано уравнение (√3 - x)(√3 + x) = 2. Используем формулу разности квадратов: (a - b)(a + b) = a² - b².

Шаг 1: Раскрываем скобки

(√3)² - x² = 2

3 - x² = 2

Шаг 2: Находим x

x² = 3 - 2

x² = 1

x = ±√1

x = ±1

Ответ: x = 1, x = -1

в) Рациональное уравнение:

Дано уравнение x/(x + 2) + 4/(x - 3) = 20/(x² - x - 6).

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю

Заметим, что x² - x - 6 можно разложить на множители: (x + 2)(x - 3). Общий знаменатель: (x + 2)(x - 3).

Шаг 2: Преобразуем уравнение

x(x - 3) / ((x + 2)(x - 3)) + 4(x + 2) / ((x - 3)(x + 2)) = 20 / ((x + 2)(x - 3))

Убираем знаменатели (при условии, что x ≠ -2 и x ≠ 3).

x(x - 3) + 4(x + 2) = 20

Шаг 3: Раскрываем скобки и решаем полученное уравнение

x² - 3x + 4x + 8 = 20

x² + x + 8 - 20 = 0

x² + x - 12 = 0

Шаг 4: Находим корни квадратного уравнения

Используем дискриминант: D = b² - 4ac, где a=1, b=1, c=-12.

D = 1² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

x₁ = (-1 + √49) / (2 * 1) = (-1 + 7) / 2 = 6 / 2 = 3

x₂ = (-1 - √49) / (2 * 1) = (-1 - 7) / 2 = -8 / 2 = -4

Шаг 5: Проверяем корни

Мы получили корни x₁ = 3 и x₂ = -4. Однако, в начале решения мы установили, что x ≠ 3. Следовательно, корень x = 3 является посторонним.

Ответ: x = -4