Решите уравнения: a) cos(x - π/3) = -√3/2 б) sin(2x + π/3) = 1/2 в) tg(5x - π/3) = 1/√3 г) sin(x/5) = 7/4 д) cos(3x - π/3) = 1 е) tg(x/5 + π/3) = 0 ж) -2tg²x - tgx + 1 = 0 3) 2sin²x + 4 cos x sin x = 0

Решение:

1. а) \( \cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
   Общее решение: \( \frac{x}{3} - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
   \( \frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
   \( x = \pi \pm \frac{5\pi}{2} + 6\pi k \)
   \( x_1 = \pi + \frac{5\pi}{2} + 6\pi k = \frac{7\pi}{2} + 6\pi k \)
   \( x_2 = \pi - \frac{5\pi}{2} + 6\pi k = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi k \)
2. б) \( \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \)
   Общее решение: \( 2x + \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
   \( 2x = -\frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \)
   \( x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \)
3. в) \( \text{tg}(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
   Общее решение: \( \frac{x}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
   \( \frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi k \)
   \( \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \)
   \( x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k \)
4. г) \( \sin(\frac{x}{5}) = \frac{7}{4} \)
   Так как \( \frac{7}{4} > 1 \), уравнение не имеет решений.
5. д) \( \cos(3x - \frac{\pi}{3}) = 1 \)
   Общее решение: \( 3x - \frac{\pi}{3} = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
   \( 3x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)
   \( x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} \)
6. е) \( \text{tg}(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{3}) = 0 \)
   Общее решение: \( \frac{x}{5} + \frac{\pi}{3} = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
   \( \frac{x}{5} = -\frac{\pi}{3} + \pi k \)
   \( x = -\frac{5\pi}{3} + 5\pi k \)
7. ж) \( -2\text{tg}^2 x - \text{tg} x + 1 = 0 \)
   Пусть \( y = \text{tg} x \). Тогда \( -2y^2 - y + 1 = 0 \) или \( 2y^2 + y - 1 = 0 \).
   \( D = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \)
   \( y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \)
   \( y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2} \) или \( y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1 \).
   \( \text{tg} x = \frac{1}{2} \) \( \Rightarrow x = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi k \)
   \( \text{tg} x = -1 \) \( \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \)
8. 3) \( 2\sin^2 x + 4 \cos x \sin x = 0 \)
   \( 2\sin x(\sin x + 2\cos x) = 0 \)
   \( \sin x = 0 \) или \( \sin x + 2\cos x = 0 \).
   Из \( \sin x = 0 \) следует \( x = \pi k \).
   Из \( \sin x + 2\cos x = 0 \) следует \( \text{tg} x = -2 \), \( x = \text{arctg}(-2) + \pi k \)