Решите уравнения: a) \(\frac{3,6}{x-1} = \frac{7,8}{6,5}\) б) \(x : \frac{6}{7} = 1\frac{1}{6} : 3\frac{1}{2}\)

Краткое пояснение:

В этих уравнениях мы снова будем применять свойства пропорций и правила работы с дробями. В первом уравнении, где неизвестное находится в знаменателе, мы перемножим крайние и средние члены пропорции. Во втором уравнении, где неизвестное является делимым, преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и применим соответствующие правила действий с дробями.

Пошаговое решение:

а) Решение первого уравнения:

1. Шаг 1: Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные для удобства:
   \( 3,6 = \frac{36}{10} = \frac{18}{5} \)
   \( 7,8 = \frac{78}{10} = \frac{39}{5} \)
   \( 6,5 = \frac{65}{10} = \frac{13}{2} \)
2. Шаг 2: Подставим обыкновенные дроби в уравнение:
   \( \frac{\frac{18}{5}}{x-1} = \frac{\frac{39}{5}}{\frac{13}{2}} \)
3. Шаг 3: Упростим правую часть уравнения:
   \( \frac{\frac{39}{5}}{\frac{13}{2}} = \frac{39}{5} \cdot \frac{2}{13} = \frac{39 \cdot 2}{5 \cdot 13} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5} \)
4. Шаг 4: Получим уравнение:
   \( \frac{\frac{18}{5}}{x-1} = \frac{6}{5} \)
5. Шаг 5: Применим свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
   \( \frac{18}{5} = (x-1) \cdot \frac{6}{5} \)
6. Шаг 6: Решим полученное уравнение:
   \( x-1 = \frac{18}{5} : \frac{6}{5} \)
   \( x-1 = \frac{18}{5} \cdot \frac{5}{6} \)
   \( x-1 = \frac{18 \cdot 5}{5 \cdot 6} \)
   \( x-1 = \frac{18}{6} \)
   \( x-1 = 3 \)
7. Шаг 7: Найдем x:
   \( x = 3 + 1 \)
   \( x = 4 \)

б) Решение второго уравнения:

1. Шаг 1: Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
   \( 1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6} \)
   \( 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} \)
2. Шаг 2: Подставим неправильные дроби в уравнение:
   \( x : \frac{6}{7} = \frac{7}{6} : \frac{7}{2} \)
3. Шаг 3: Выполним деление в правой части:
   \( \frac{7}{6} : \frac{7}{2} = \frac{7}{6} \cdot \frac{2}{7} = \frac{7 \cdot 2}{6 \cdot 7} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
4. Шаг 4: Получим уравнение:
   \( x : \frac{6}{7} = \frac{1}{3} \)
5. Шаг 5: Выразим x:
   \( x = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} \)
   \( x = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 7} \)
   \( x = \frac{6}{21} \)
6. Шаг 6: Упростим дробь:
   \( x = \frac{2}{7} \)

Ответ: а) x = 4; б) x = 2/7