Решите уравнения: а) $\log_4(x^2-15x)=2$; б) $\log_5(x^2-9)=\log_5(4x+3)$; в) [нечёткая запись: возможно, $2\log_2(-x)=1+\log_2(x+1)$]; г) $(\log_4 x)^2-2\log_4 x-3=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите уравнения: а) $\log_4(x^2-15x)=2$; б) $\log_5(x^2-9)=\log_5(4x+3)$; в) [нечёткая запись: возможно,…$ Фото задания

Решите уравнения: а) $\log_4(x^2-15x)=2$; б) $\log_5(x^2-9)=\log_5(4x+3)$; в) [нечёткая запись: возможно, $2\log_2(-x)=1+\log_2(x+1)$]; г) $(\log_4 x)^2-2\log_4 x-3=0$.

Accepted Answer

а) Область определения: $x^2-15x>0$. Из уравнения следует $x^2-15x=4^2=16$, то есть $x^2-15x-16=0$. Корни: $x=16$ и $x=-1$. Оба удовлетворяют области определения.

б) Аргументы логарифмов должны быть положительными. При одинаковых основаниях приравниваем аргументы: $x^2-9=4x+3$, откуда $(x-6)(x+2)=0$. Кандидаты: $6$ и $-2$. При $x=-2$ аргументы логарифмов отрицательны, поэтому этот корень не подходит. При $x=6$ аргументы положительны.

в) Запись нечёткая; решение ниже относится к прочтению $2\log_2(-x)=1+\log_2(x+1)$. Область определения: $-1<x<0$. Используем $2\log_2(-x)=\log_2(x^2)$ и $1=\log_2 2$: получаем $\log_2(x^2)=\log_2(2(x+1))$, значит, $x^2=2x+2$. Корни уравнения — $1\pm\sqrt3$; условию $-1<x<0$ удовлетворяет только $1-\sqrt3$.

Чтобы надёжно решить пункт в), пришлите, пожалуйста, его запись крупнее: особенно важно уточнить аргумент правого логарифма.

г) Обозначим $t=\log_4 x$, где $x>0$. Тогда $t^2-2t-3=0$, откуда $(t-3)(t+1)=0$. Значит, $t=3$ или $t=-1$, поэтому $x=4^3=64$ или $x=4^{-1}=\frac14$.

Ответ: а) $-1, 16$; б) $6$; в) при указанном прочтении $1-\sqrt3$; г) $\frac14, 64$.

Решите уравнения: а) \(\log_4(x^2-15x)=2\); б) \(\log_5(x^2-9)=\log_5(4x+3)\); в) [нечёткая запись: возможно, \(2\log_2(-x)=1+\log_2(x+1)\)]; г) \((\log_4 x)^2-2\log_4 x-3=0\).

Ответ: