Решите уравнения: 1. -cos(2x - π/4) + 1 = 0 2. 3 sin² x + 2 sin x cos x - cos² x = 2

1.

Решим уравнение

$$-\cos \left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+1=0$$ $$\cos \left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=1$$

Общее решение уравнения cos t = 1 имеет вид:

$$t = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

В нашем случае:

$$2x-\frac{\pi}{4}=2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$2x = \frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{8}+\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{8}+\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2.

Решим уравнение

$$3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x = 2$$

Представим 2 как $$2(\sin^2 x + \cos^2 x)$$. Получим:

$$3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$$ $$3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$$ $$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2 x
eq 0$$. (Если $$\cos x = 0$$, то $$\sin x = \pm 1$$, и уравнение не выполняется.)

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 2 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$\tan^2 x + 2 \tan x - 3 = 0$$

Заменим $$t = \tan x$$. Получим:

$$t^2 + 2t - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$

Тогда

$$\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$\tan x = -3 \Rightarrow x = -\arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$