1. Решите уравнения: 1) 2cosx = 1 2) sin(-x/3) = √2/2 3) 3 (sinx)² - 5 sin x - 2 = 0 4) 4(sinx)² - 4 cos x - 1 = 0 2. Решите неравенства: 1) cosx ≥-1/2 2) sin(x-π/6)≥-1/2

Решим данные тригонометрические уравнения и неравенства.

1. Решите уравнения:

1. 2cosx = 1

   cosx = 1/2

   x = ±arccos(1/2) + 2πk, k ∈ Z

   x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z

   Ответ: x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z

2. sin(-x/3) = √2/2

   -x/3 = (-1)^n * arcsin(√2/2) + πn, n ∈ Z

   -x/3 = (-1)^n * π/4 + πn, n ∈ Z

   x = -3((-1)^n * π/4 + πn), n ∈ Z

   x = (-1)^(n+1) * (3π)/4 - 3πn, n ∈ Z

   Ответ: x = (-1)^(n+1) * (3π)/4 - 3πn, n ∈ Z

3. 3 (sinx)² - 5 sin x - 2 = 0

   Пусть sinx = t, тогда уравнение принимает вид:

   3t² - 5t - 2 = 0

   D = (-5)² - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49

   t₁ = (5 + √49) / (2 * 3) = (5 + 7) / 6 = 12 / 6 = 2

   t₂ = (5 - √49) / (2 * 3) = (5 - 7) / 6 = -2 / 6 = -1/3

   sinx = 2 (невозможно, так как |sinx| ≤ 1)

   sinx = -1/3

   x = (-1)^n * arcsin(-1/3) + πn, n ∈ Z

   x = -(-1)^n * arcsin(1/3) + πn, n ∈ Z

   Ответ: x = -(-1)^n * arcsin(1/3) + πn, n ∈ Z

4. 4(sinx)² - 4 cos x - 1 = 0

   4(1 - cos²x) - 4 cos x - 1 = 0

   4 - 4cos²x - 4 cos x - 1 = 0

   -4cos²x - 4 cos x + 3 = 0

   4cos²x + 4 cos x - 3 = 0

   Пусть cosx = t, тогда уравнение принимает вид:

   4t² + 4t - 3 = 0

   D = 4² - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64

   t₁ = (-4 + √64) / (2 * 4) = (-4 + 8) / 8 = 4 / 8 = 1/2

   t₂ = (-4 - √64) / (2 * 4) = (-4 - 8) / 8 = -12 / 8 = -3/2

   cosx = 1/2

   x = ±arccos(1/2) + 2πk, k ∈ Z

   x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z

   cosx = -3/2 (невозможно, так как |cosx| ≤ 1)

   Ответ: x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z

2. Решите неравенства:

1. cosx ≥ -1/2

   -arccos(-1/2) + 2πk ≤ x ≤ arccos(-1/2) + 2πk, k ∈ Z

   -2π/3 + 2πk ≤ x ≤ 2π/3 + 2πk, k ∈ Z

   Ответ: -2π/3 + 2πk ≤ x ≤ 2π/3 + 2πk, k ∈ Z

2. sin(x-π/6) ≥ -1/2

   arcsin(-1/2) + 2πk ≤ x - π/6 ≤ π - arcsin(-1/2) + 2πk, k ∈ Z

   -π/6 + 2πk ≤ x - π/6 ≤ π + π/6 + 2πk, k ∈ Z

   0 + 2πk ≤ x ≤ π + π/3 + 2πk, k ∈ Z

   2πk ≤ x ≤ 4π/3 + 2πk, k ∈ Z

   Ответ: 2πk ≤ x ≤ 4π/3 + 2πk, k ∈ Z