Решите уравнения. Группа 1: 1) 10^x = ∛100; 2) 10^x = ⁵√10000; 3) 225^(2x²−24) = 15; 4) 10^x = 1/⁴√10000; 5) (√10)^x = 10^(x²−x); 6) 100^(x²−1) = 10^(1−5x). Группа 2: 1) 2^(x²)·(1/2)^(x/4) = ⁴√8; 2) 5^(0,1x)·(1/5)^(−0,06) = 5^(x²); 3) (1/2)^√(1−x)·(1/2)^−1 = (1/2)^(2x); 4) 0,7^√(x+12)·0,7^−2 = 0,7^[показатель степени обрезан]. Группа 3: 1) 7^x−7^(x−1)=6; 2) 3^(2y−1)+3^(2y−2)−3^(2y−4)=315; 3) 5^(3x)+3·5^(3x−2)=140; 4) 2^(x+1)+3·2^(x−1)−5·2^x+6=0. Группа 4: 1) 7^(x−2)=3^(2−x); 2) 2^(x−3)=3^(3−x); 3) 3^((x+2)/4)=5^(x+2); 4) 4^((x−3)/2)=3^(2(x−3)). Группа 5: 1) (0,5)^(x²−4x+3)=(0,5)^(2x²+x+3); 2) (0,1)^(3+2x)=(0,1)^(2−x²); 3) 3^√(x−6)=3^x; 4) (1/3)^x=(1/3)^√(2−x). Группа 6: 1) 2^|x−2|=2^|x+4|; 2) 1,5^|5−x|=1,5^|x−1|; 3) 3^|x+1|=3^(2−|x|); 4) 3^|x|=3^(|2−x|−1). Группа 7: 1) 3^(x+3)+3^x=7^(x+1)+5·7^x; 2) 3^(x+4)+3·5^(x+3)=5^(x+4)+3^(x+3); 3) 2^(8−x)+7^(3−x)=7^(4−x)+11·2^(3−x); 4) 2^(x+1)+2^(x−1)−3^(x−1)=3^(x−2)−2^(x−3)+2·3^(x−3).

Question

Вопрос:

Фото задания: Решите уравнения. Группа 1: 1) 10^x = ∛100; 2) 10^x = ⁵√10000; 3) 225^(2x²−24) = 15; 4) 10^x = 1/⁴√10000; 5) (√10)^x =…

Решите уравнения. Группа 1: 1) 10^x = ∛100; 2) 10^x = ⁵√10000; 3) 225^(2x²−24) = 15; 4) 10^x = 1/⁴√10000; 5) (√10)^x = 10^(x²−x); 6) 100^(x²−1) = 10^(1−5x). Группа 2: 1) 2^(x²)·(1/2)^(x/4) = ⁴√8; 2) 5^(0,1x)·(1/5)^(−0,06) = 5^(x²); 3) (1/2)^√(1−x)·(1/2)^−1 = (1/2)^(2x); 4) 0,7^√(x+12)·0,7^−2 = 0,7^[показатель степени обрезан]. Группа 3: 1) 7^x−7^(x−1)=6; 2) 3^(2y−1)+3^(2y−2)−3^(2y−4)=315; 3) 5^(3x)+3·5^(3x−2)=140; 4) 2^(x+1)+3·2^(x−1)−5·2^x+6=0. Группа 4: 1) 7^(x−2)=3^(2−x); 2) 2^(x−3)=3^(3−x); 3) 3^((x+2)/4)=5^(x+2); 4) 4^((x−3)/2)=3^(2(x−3)). Группа 5: 1) (0,5)^(x²−4x+3)=(0,5)^(2x²+x+3); 2) (0,1)^(3+2x)=(0,1)^(2−x²); 3) 3^√(x−6)=3^x; 4) (1/3)^x=(1/3)^√(2−x). Группа 6: 1) 2^|x−2|=2^|x+4|; 2) 1,5^|5−x|=1,5^|x−1|; 3) 3^|x+1|=3^(2−|x|); 4) 3^|x|=3^(|2−x|−1). Группа 7: 1) 3^(x+3)+3^x=7^(x+1)+5·7^x; 2) 3^(x+4)+3·5^(x+3)=5^(x+4)+3^(x+3); 3) 2^(8−x)+7^(3−x)=7^(4−x)+11·2^(3−x); 4) 2^(x+1)+2^(x−1)−3^(x−1)=3^(x−2)−2^(x−3)+2·3^(x−3).

Accepted Answer

В уравнении группы 2, пункт 4, показатель степени справа обрезан на фотографии, поэтому определить его корни нельзя. Остальные уравнения решаются по видимым данным.

Поскольку корни справа равны степеням числа 10, приравниваем показатели:
1. \(\sqrt[3]{100}=10^{2/3}\), значит \(x=\frac{2}{3}\).
2. \(\sqrt[5]{10000}=10^{4/5}\), значит \(x=\frac{4}{5}\).
3. \(225=15^2\), поэтому \(15^{4x^2-48}=15\). Тогда \(4x^2-48=1\), откуда \(x=\pm\frac{7}{2}\).
4. \(\sqrt[4]{10000}=10\), поэтому \(10^x=10^{-1}\), откуда \(x=-1\).
5. \(10^{x/2}=10^{x^2-x}\), поэтому \(x/2=x^2-x\). Получаем \(x(x-\frac32)=0\), значит \(x=0\) или \(x=\frac32\).
6. \(10^{2x^2-2}=10^{1-5x}\). Следовательно, \(2x^2+5x-3=0\), откуда \(x=-3\) или \(x=\frac12\).
Приводим степени к одинаковому основанию:
1. \(2^{x^2-x/4}=2^{3/4}\), значит \(4x^2-x-3=0\), откуда \(x=1\) или \(x=-\frac34\).
2. \(5^{x/10+0,06}=5^{x^2}\). Получаем \(50x^2-5x-3=0\), откуда \(x=0,3\) или \(x=-0,2\).
3. Область определения: \(x\leq1\). Из равенства показателей \(\sqrt{1-x}-1=2x\); проверка после возведения в квадрат оставляет только \(x=0\).
4. Нужен полный показатель степени справа: пришлите, пожалуйста, эту часть уравнения целиком.
Выносим общие степени и упрощаем:
1. \(7^{x-1}(7-1)=6\), значит \(7^{x-1}=1\), поэтому \(x=1\).
2. \(3^{2y-4}(27+9-1)=315\), значит \(3^{2y-4}=9\), поэтому \(y=3\).
3. \(5^{3x-2}(25+3)=140\), значит \(5^{3x-2}=5\), поэтому \(x=1\).
4. Положим \(t=2^x>0\). Тогда \(2t+\frac32t-5t+6=0\), откуда \(t=4\) и \(x=2\).
Логарифмируем равенства с разными основаниями (основания положительны и не равны 1):
1. \((x-2)(\ln7+\ln3)=0\), поэтому \(x=2\).
2. \((x-3)(\ln2+\ln3)=0\), поэтому \(x=3\).
3. \((x+2)(\frac{\ln3}{4}-\ln5)=0\), поэтому \(x=-2\).
4. Пусть \(t=x-3\). Тогда \(4^{t/2}=2^t\), а равенство принимает вид \(2^t=3^{2t}\). Отсюда \(t=0\), поэтому \(x=3\).
Для одинаковых оснований приравниваем показатели; в уравнениях с корнями дополнительно учитываем область определения:
1. \(x^2-4x+3=2x^2+x+3\), значит \(x(x+5)=0\), откуда \(x=0\) или \(x=-5\).
2. \(3+2x=2-x^2\), значит \((x+1)^2=0\), поэтому \(x=-1\).
3. При \(x\geq6\) равенство потребовало бы \(x^2-x+6=0\), у которого нет действительных корней. Решений нет.
4. Область определения и неотрицательность корня дают \(0\leq x\leq2\). Из \(x=\sqrt{2-x}\) получаем \(x^2+x-2=0\); подходит только \(x=1\).
Основания степеней одинаковы и не равны 1, поэтому приравниваем показатели:
1. \(|x-2|=|x+4|\), значит \(x=-1\).
2. \(|5-x|=|x-1|\), значит \(x=3\).
3. Решение по промежуткам с учётом правой части \(2-|x|\geq0\) даёт \(x=\frac12\) или \(x=-\frac32\).
4. Решение по промежуткам для \(|x|=|2-x|-1\) даёт \(x=\frac12\).
Выносим общие степени и сокращаем:
1. \(28\cdot3^x=12\cdot7^x\), поэтому \((7/3)^x=7/3\) и \(x=1\).
2. После переноса слагаемых \(54\cdot3^x=250\cdot5^x\), то есть \((3/5)^x=27/125=(3/5)^3\). Поэтому \(x=3\).
3. Положим \(A=2^{3-x}\), \(B=7^{3-x}\). Тогда \(32A+B=7B+11A\), откуда \((2/7)^{3-x}=2/7\), поэтому \(x=2\).
4. После переноса слагаемых получаем \(21\cdot2^{x-3}=14\cdot3^{x-3}\). Значит, \((2/3)^{x-3}=2/3\), откуда \(x=4\).

Ответ: группа 1 — \(\frac23;\ \frac45;\ \pm\frac72;\ -1;\ 0,\frac32;\ -3,\frac12\). Группа 2 — \(1,-\frac34;\ 0,3,-0,2;\ 0\); пункт 4 нельзя решить без обрезанного показателя. Группа 3 — \(1;\ 3;\ 1;\ 2\). Группа 4 — \(2;\ 3;\ -2;\ 3\). Группа 5 — \(0,-5;\ -1;\ решений нет;\ 1\). Группа 6 — \(-1;\ 3;\ -\frac32,\frac12;\ \frac12\). Группа 7 — \(1;\ 3;\ 2;\ 4\).