Решите уравнения и неравенства: 1) √(x + 10) = x − 2; 2) √(x² + x + 4) = 4; 3) √(2x + 1) − √x = 1; 4) √(5 − x) − √(5 + x) = 2; 5) √(x + 8) < x + 2.

Правая часть должна быть неотрицательной: x ≥ 2. Возводим в квадрат: x + 10 = (x − 2)², откуда x² − 5x − 6 = 0. Корни — 6 и −1, условию x ≥ 2 соответствует только x = 6.

Возводим в квадрат: x² + x + 4 = 16, то есть (x + 4)(x − 3) = 0. Получаем x = −4; 3; оба корня подходят.

Положим t = √x, где t ≥ 0. Тогда √(2t² + 1) = t + 1. Возводим в квадрат: 2t² + 1 = (t + 1)², откуда t(t − 2) = 0. Значит, t = 0 или t = 2, поэтому x = 0; 4. Оба значения проверяются в исходном уравнении.

Область определения: −5 ≤ x ≤ 5. Обозначим A = √(5 − x), B = √(5 + x). Из A − B = 2 и A² − B² = −2x следует A + B = −x, поэтому x ≤ 0. Тогда A = (2 − x)/2. Подставляем в A² = 5 − x: (2 − x)² = 20 − 4x, откуда x² = 16. Условию x ≤ 0 подходит x = −4; проверка: 3 − 1 = 2. x = −4.

Для x ≥ −8 левая часть определена. Неравенство требует x + 2 > 0, то есть x > −2. При этом можно возвести обе части в квадрат: x + 8 < (x + 2)², или (x + 4)(x − 1) > 0. С учётом x > −2 получаем x ∈ (−2; 1).