Решите уравнения, используя метод введения новой переменной: а) $(x^2-3x+1)(x^2-3x+3)=3$; б) $\frac{x^2+1}{x}+\frac{x}{x^2+1}=2,9$; в) $\frac{x^2+x-5}{x}+\frac{3x}{x^2+x-5}+4=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите уравнения, используя метод введения новой переменной: а) $(x^2-3x+1)(x^2-3x+3)=3$; б)…$ Фото задания

Решите уравнения, используя метод введения новой переменной: а) $(x^2-3x+1)(x^2-3x+3)=3$; б) $\frac{x^2+1}{x}+\frac{x}{x^2+1}=2,9$; в) $\frac{x^2+x-5}{x}+\frac{3x}{x^2+x-5}+4=0$.

Accepted Answer

а) Введём переменную $t=x^2-3x+2$. Тогда множители равны $t-1$ и $t+1$:

$(t-1)(t+1)=3$, откуда $t^2=4$, то есть $t=2$ или $t=-2$.

При $t=2$: $x^2-3x+2=2$, поэтому $x(x-3)=0$, и $x=0$ или $x=3$.

При $t=-2$: $x^2-3x+4=0$. Дискриминант $D=9-16=-7<0$, действительных корней нет.

б) Область допустимых значений: $x\ne0$. Положим $t=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac1x$, тогда второе слагаемое равно $\frac1t$:

$t+\frac1t=2.9$, откуда $10t^2-29t+10=0$.

Дискриминант равен $441$, поэтому $t=\frac52$ или $t=\frac25$. Для действительного ненулевого $x$ значение $x+\frac1x$ не может быть равно $\frac25$, поскольку оно не принадлежит промежутку $(-2,2)$. При $t=\frac52$: $x+\frac1x=\frac52$, то есть $2x^2-5x+2=0$. Отсюда $x=2$ или $x=\frac12$.

в) Область допустимых значений: $x\ne0$ и $x^2+x-5\ne0$. Положим $t=\frac{x^2+x-5}{x}$. Тогда уравнение принимает вид $t+\frac3t+4=0$, поэтому $t^2+4t+3=0$. Получаем $t=-1$ или $t=-3$.

При $t=-1$: $x^2+x-5=-x$, то есть $x^2+2x-5=0$, откуда $x=-1\pm\sqrt6$.

При $t=-3$: $x^2+x-5=-3x$, то есть $x^2+4x-5=0$, откуда $x=1$ или $x=-5$. Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: а) $0, 3$; б) $\frac12, 2$; в) $-1-\sqrt6, -1+\sqrt6, -5, 1$.

Решите уравнения, используя метод введения новой переменной: а) \((x^2-3x+1)(x^2-3x+3)=3\); б) \(\frac{x^2+1}{x}+\frac{x}{x^2+1}=2,9\); в) \(\frac{x^2+x-5}{x}+\frac{3x}{x^2+x-5}+4=0\).

Ответ: