Решите уравнения (самостоятельно) б)y⁴ −6y² +8=0 в)4x4 −5x² +1=0 г)x⁴ – 25x² +144=0 д)5y+ −5y² + 2 = 0 e)t⁴ – 2t² – 3 =0

Решим данные биквадратные уравнения.

б) $$y^4 - 6y^2 + 8 = 0$$

Пусть $$y^2 = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 6t + 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$$

$$t_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

$$t_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$$

Вернемся к замене:

1) $$y^2 = 4$$

$$y_1 = 2, y_2 = -2$$

2) $$y^2 = 2$$

$$y_3 = \sqrt{2}, y_4 = -\sqrt{2}$$

Ответ: $$y_1 = 2, y_2 = -2, y_3 = \sqrt{2}, y_4 = -\sqrt{2}$$

---

в) $$4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$$

Пусть $$x^2 = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$4t^2 - 5t + 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$$

$$t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{8} = \frac{5 + 3}{8} = 1$$

$$t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{8} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{1}{4}$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2 = 1$$

$$x_1 = 1, x_2 = -1$$

2) $$x^2 = \frac{1}{4}$$

$$x_3 = \frac{1}{2}, x_4 = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = \frac{1}{2}, x_4 = -\frac{1}{2}$$

---

г) $$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$$

Пусть $$x^2 = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 25t + 144 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49$$

$$t_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = 16$$

$$t_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2 = 16$$

$$x_1 = 4, x_2 = -4$$

2) $$x^2 = 9$$

$$x_3 = 3, x_4 = -3$$

Ответ: $$x_1 = 4, x_2 = -4, x_3 = 3, x_4 = -3$$

---

д) $$5y^4 - 5y^2 + 2 = 0$$

Пусть $$y^2 = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$5t^2 - 5t + 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 25 - 40 = -15$$

Т.к. дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Действительных решений нет

---

e) $$t^4 - 2t^2 - 3 = 0$$

Пусть $$t^2 = z$$, тогда уравнение примет вид:

$$z^2 - 2z - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$z_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

$$z_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

Вернемся к замене:

1) $$t^2 = 3$$

$$t_1 = \sqrt{3}, t_2 = -\sqrt{3}$$

2) $$t^2 = -1$$

Нет действительных решений.

Ответ: $$t_1 = \sqrt{3}, t_2 = -\sqrt{3}$$