Решите уравнения $$x^4 + 13x^2 + 42 = 0$$ и $$x^4 - 13x^2 + 42 = 0$$. Сколько корней имеет уравнение $$x^4 + 13x^2 + 42 = 0$$? Сколько корней имеет уравнение $$x^4 - 13x^2 + 42 = 0$$?

Решим первое уравнение: $$x^4 + 13x^2 + 42 = 0$$.

Пусть $$y = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$y^2 + 13y + 42 = 0$$.

Решим квадратное уравнение $$y^2 + 13y + 42 = 0$$.

Дискриминант $$D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1$$.

Корни квадратного уравнения: $$y_1 = \frac{-13 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-13 + 1}{2} = -6$$ и $$y_2 = \frac{-13 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-13 - 1}{2} = -7$$.

Так как $$y = x^2$$, то $$x^2 = -6$$ и $$x^2 = -7$$.

Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, уравнение $$x^4 + 13x^2 + 42 = 0$$ не имеет действительных корней.

Решим второе уравнение: $$x^4 - 13x^2 + 42 = 0$$.

Пусть $$y = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$y^2 - 13y + 42 = 0$$.

Решим квадратное уравнение $$y^2 - 13y + 42 = 0$$.

Дискриминант $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1$$.

Корни квадратного уравнения: $$y_1 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2} = \frac{13 + 1}{2} = 7$$ и $$y_2 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2} = \frac{13 - 1}{2} = 6$$.

Так как $$y = x^2$$, то $$x^2 = 7$$ и $$x^2 = 6$$.

Из уравнения $$x^2 = 7$$ получаем два корня: $$x_1 = \sqrt{7}$$ и $$x_2 = -\sqrt{7}$$.

Из уравнения $$x^2 = 6$$ получаем два корня: $$x_3 = \sqrt{6}$$ и $$x_4 = -\sqrt{6}$$.

Следовательно, уравнение $$x^4 - 13x^2 + 42 = 0$$ имеет четыре действительных корня.

Ответ:

• Уравнение $$x^4 + 13x^2 + 42 = 0$$ имеет 0 корней.
• Уравнение $$x^4 - 13x^2 + 42 = 0$$ имеет 4 корня.