Решение уравнений

1. (x-2)^4-(x-2)^2-6=0

   Пусть $$t = (x-2)^2$$, тогда уравнение примет вид:

   $$t^2 - t - 6 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$ $$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3$$ $$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2$$

   Вернёмся к замене:

   1) $$(x-2)^2 = 3$$

   $$x-2 = \pm \sqrt{3}$$ $$x_1 = 2 + \sqrt{3}$$ $$x_2 = 2 - \sqrt{3}$$

   2) $$(x-2)^2 = -2$$

   Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

   Ответ: $$x_1 = 2 + \sqrt{3}, x_2 = 2 - \sqrt{3}$$

2. (x+3)^4-2(x+3)^2-15=0

   Пусть $$t = (x+3)^2$$, тогда уравнение примет вид:

   $$t^2 - 2t - 15 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$ $$t_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2+8}{2} = 5$$ $$t_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2-8}{2} = -3$$

   Вернёмся к замене:

   1) $$(x+3)^2 = 5$$

   $$x+3 = \pm \sqrt{5}$$ $$x_1 = -3 + \sqrt{5}$$ $$x_2 = -3 - \sqrt{5}$$

   2) $$(x+3)^2 = -3$$

   Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

   Ответ: $$x_1 = -3 + \sqrt{5}, x_2 = -3 - \sqrt{5}$$

3. (x-4)^4-4(x-4)^2-21=0

   Пусть $$t = (x-4)^2$$, тогда уравнение примет вид:

   $$t^2 - 4t - 21 = 0$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D = (-4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$ $$t_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4+10}{2} = 7$$ $$t_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4-10}{2} = -3$$

   Вернёмся к замене:

   1) $$(x-4)^2 = 7$$

   $$x-4 = \pm \sqrt{7}$$ $$x_1 = 4 + \sqrt{7}$$ $$x_2 = 4 - \sqrt{7}$$

   2) $$(x-4)^2 = -3$$

   Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

   Ответ: $$x_1 = 4 + \sqrt{7}, x_2 = 4 - \sqrt{7}$$