Решите уравнения: 1) x⁴ - 2x² - 8 = 0; 2) x + 2√x - 15 = 0; 3) (x² - 2x)(x² - 2x - 7) = 8 4) (x² + x - 5)(x² + x + 1) = - 9 5) (x² - 2x)² - 2(x² - 2x) - 3 = 0 6) (2x² + 3)² - 12(2x² + 3) + 11 = 0 7) (2x² + 3x - 1)² - 10x² - 15x + 9 = 0 x²+2x-6 3x = -2 8) x x²+2x-6

1) x⁴ - 2x² - 8 = 0

Замена: y = x².

Получаем: y² - 2y - 8 = 0.

Решаем квадратное уравнение: D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.

y₁ = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4.

y₂ = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = -2.

Обратная замена: x² = 4 и x² = -2 (не имеет действительных решений).

x₁ = 2, x₂ = -2.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = -2

2) x + 2√x - 15 = 0

Замена: y = √x.

Получаем: y² + 2y - 15 = 0.

Решаем квадратное уравнение: D = 2² - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64.

y₁ = (-2 + √64) / 2 = (-2 + 8) / 2 = 3.

y₂ = (-2 - √64) / 2 = (-2 - 8) / 2 = -5 (не подходит, т.к. √x ≥ 0).

Обратная замена: √x = 3.

x = 3² = 9.

Ответ: x = 9

3) (x² - 2x)(x² - 2x - 7) = 8

Замена: y = x² - 2x.

Получаем: y(y - 7) = 8.

y² - 7y - 8 = 0.

Решаем квадратное уравнение: D = (-7)² - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81.

y₁ = (7 + √81) / 2 = (7 + 9) / 2 = 8.

y₂ = (7 - √81) / 2 = (7 - 9) / 2 = -1.

Обратная замена:

x² - 2x = 8 → x² - 2x - 8 = 0.

D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.

x₁ = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4.

x₂ = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = -2.

x² - 2x = -1 → x² - 2x + 1 = 0.

(x - 1)² = 0.

x₃ = 1.

Ответ: x₁ = 4, x₂ = -2, x₃ = 1

4) (x² + x - 5)(x² + x + 1) = -9

Замена: y = x² + x.

Получаем: (y - 5)(y + 1) = -9.

y² - 4y - 5 = -9.

y² - 4y + 4 = 0.

(y - 2)² = 0.

y = 2.

Обратная замена: x² + x = 2 → x² + x - 2 = 0.

D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

x₁ = (-1 + √9) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 1.

x₂ = (-1 - √9) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -2.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -2

5) (x² - 2x)² - 2(x² - 2x) - 3 = 0

Замена: y = x² - 2x.

Получаем: y² - 2y - 3 = 0.

D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

y₁ = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3.

y₂ = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1.

Обратная замена:

x² - 2x = 3 → x² - 2x - 3 = 0.

D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

x₁ = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3.

x₂ = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1.

x² - 2x = -1 → x² - 2x + 1 = 0.

(x - 1)² = 0.

x₃ = 1.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -1, x₃ = 1

6) (2x² + 3)² - 12(2x² + 3) + 11 = 0

Замена: y = 2x² + 3.

Получаем: y² - 12y + 11 = 0.

D = (-12)² - 4 * 1 * 11 = 144 - 44 = 100.

y₁ = (12 + √100) / 2 = (12 + 10) / 2 = 11.

y₂ = (12 - √100) / 2 = (12 - 10) / 2 = 1.

Обратная замена:

2x² + 3 = 11 → 2x² = 8 → x² = 4.

x₁ = 2, x₂ = -2.

2x² + 3 = 1 → 2x² = -2 → x² = -1 (не имеет действительных решений).

Ответ: x₁ = 2, x₂ = -2

7) (2x² + 3x - 1)² - 10x² - 15x + 9 = 0

(2x² + 3x - 1)² - 5(2x² + 3x - 1) + 4 = 0

Замена: y = 2x² + 3x - 1.

y² - 5y + 4 = 0.

D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9.

y₁ = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4.

y₂ = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1.

Обратная замена:

2x² + 3x - 1 = 4 → 2x² + 3x - 5 = 0.

D = 3² - 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49.

x₁ = (-3 + √49) / 4 = (-3 + 7) / 4 = 1.

x₂ = (-3 - √49) / 4 = (-3 - 7) / 4 = -2.5.

2x² + 3x - 1 = 1 → 2x² + 3x - 2 = 0.

D = 3² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.

x₃ = (-3 + √25) / 4 = (-3 + 5) / 4 = 0.5.

x₄ = (-3 - √25) / 4 = (-3 - 5) / 4 = -2.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -2.5, x₃ = 0.5, x₄ = -2

8) (x² + 2x - 6) / x - (3x) / (x² + 2x - 6) = -2

Замена: y = (x² + 2x - 6) / x.

Получаем: y - 3/y = -2.

y² + 2y - 3 = 0.

D = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

y₁ = (-2 + √16) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 1.

y₂ = (-2 - √16) / 2 = (-2 - 4) / 2 = -3.

Обратная замена:

(x² + 2x - 6) / x = 1 → x² + 2x - 6 = x → x² + x - 6 = 0.

D = 1² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.

x₁ = (-1 + √25) / 2 = (-1 + 5) / 2 = 2.

x₂ = (-1 - √25) / 2 = (-1 - 5) / 2 = -3.

(x² + 2x - 6) / x = -3 → x² + 2x - 6 = -3x → x² + 5x - 6 = 0.

D = 5² - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49.

x₃ = (-5 + √49) / 2 = (-5 + 7) / 2 = 1.

x₄ = (-5 - √49) / 2 = (-5 - 7) / 2 = -6.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = -3, x₃ = 1, x₄ = -6