1. Решите уравнения: a) (\frac{1}{9})^{x-1}=3; б) (\frac{1}{6})^{2x+8}=216; в)7^{x}=3^{x}; г) $$5^{2-x}=\frac{1}{2}\cdot 10^{2-x}$$.

Решим уравнения:

1. а) $$(\frac{1}{9})^{x-1}=3$$

   Представим обе части уравнения как степени с основанием 3:

   $$(3^{-2})^{x-1}=3^1$$

   $$3^{-2(x-1)}=3^1$$

   Так как основания равны, то приравниваем показатели:

   -2(x-1) = 1

   -2x + 2 = 1

   -2x = -1

   $$x = \frac{1}{2}$$

   Ответ: $$\frac{1}{2}$$

2. б) $$(\frac{1}{6})^{2x+8}=216$$

   Представим обе части уравнения как степени с основанием 6:

   $$(6^{-1})^{2x+8}=6^3$$

   $$6^{-2x-8}=6^3$$

   Так как основания равны, то приравниваем показатели:

   -2x - 8 = 3

   -2x = 11

   $$x = -\frac{11}{2} = -5.5$$

   Ответ: $$-5.5$$

3. в) $$7^x = 3^x$$

   Разделим обе части уравнения на $$3^x$$:

   $$\frac{7^x}{3^x} = 1$$

   $$\left(\frac{7}{3}\right)^x = 1$$

   $$\left(\frac{7}{3}\right)^x = \left(\frac{7}{3}\right)^0$$

   $$x = 0$$

   Ответ: $$0$$

4. г) $$5^{2-x}=\frac{1}{2}\cdot 10^{2-x}$$

   Представим $$10^{2-x}$$ как $$5^{2-x} \cdot 2^{2-x}$$

   $$5^{2-x} = \frac{1}{2} \cdot 5^{2-x} \cdot 2^{2-x}$$

   Разделим обе части на $$5^{2-x}$$ (предполагая, что $$5^{2-x}
   eq 0$$, что верно):

   $$1 = \frac{1}{2} \cdot 2^{2-x}$$

   $$2 = 2^{2-x}$$

   $$2^1 = 2^{2-x}$$

   Приравниваем показатели:

   1 = 2 - x

   $$x = 1$$

   Ответ: $$1$$