Решите уравнения: a) √x + 6-√x + 1 = √2x-5; б) √4-x√x + 1 = √6; в) √x²-3x + √x²-3x + 5 = √33-2x² + 6x; г) √x + 4 -3x+4+2 = 0.

Решим уравнения:

a) $$√{x + 6} - √{x + 1} = √{2x - 5}$$;

ОДЗ: $$x ≥ 5/2$$.

Перенесем один из корней в правую часть: $$√{x + 6} = √{2x - 5} + √{x + 1}$$.

Возведем обе части в квадрат: $$x + 6 = 2x - 5 + 2√{(2x - 5)(x + 1)} + x + 1$$.

Упростим: $$10 - 2x = 2√{2x^2 - 3x - 5}$$.

$$5 - x = √{2x^2 - 3x - 5}$$.

Возведем обе части в квадрат: $$(5 - x)^2 = 2x^2 - 3x - 5$$.

$$25 - 10x + x^2 = 2x^2 - 3x - 5$$.

$$x^2 + 7x - 30 = 0$$.

Решим квадратное уравнение: $$D = 49 - 4(-30) = 49 + 120 = 169$$.

$$x_1 = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3$$.

$$x_2 = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$.

Проверим корни: $$x = 3$$ подходит, так как $$5 - 3 = √{2 \cdot 9 - 3 \cdot 3 - 5} = √{18 - 9 - 5} = √4 = 2$$.

$$x = -10$$ не подходит, так как $$5 - (-10) = 15$$, а $$√{2 \cdot 100 + 30 - 5} = √{225} = 15$$. Но $$x = -10$$ не входит в ОДЗ.

Ответ: $$x = 3$$.

---

б) $$√{4 - x} \cdot √{x + 1} = √6$$.

ОДЗ: $$-1 ≤ x ≤ 4$$.

Возведем обе части в квадрат: $$(4 - x)(x + 1) = 6$$.

$$4x + 4 - x^2 - x = 6$$.

$$-x^2 + 3x - 2 = 0$$.

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$.

$$D = 9 - 8 = 1$$.

$$x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$.

$$x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$$.

Проверим корни:

$$x = 2$$. $$√{4 - 2} \cdot √{2 + 1} = √2 \cdot √3 = √6$$.

$$x = 1$$. $$√{4 - 1} \cdot √{1 + 1} = √3 \cdot √2 = √6$$.

Ответ: $$x = 1, x = 2$$.

---

в) $$√{x^2 - 3x} + √{x^2 - 3x + 5} = √{33 - 2x^2 + 6x}$$.

Пусть $$y = x^2 - 3x$$, тогда уравнение примет вид: $$√y + √{y + 5} = √{33 - 2y}$$.

Возведем обе части в квадрат: $$y + 2√{y(y + 5)} + y + 5 = 33 - 2y$$.

$$2y + 5 + 2√{y^2 + 5y} = 33 - 2y$$.

$$4y - 28 = -2√{y^2 + 5y}$$.

$$2y - 14 = -√{y^2 + 5y}$$.

Возведем обе части в квадрат: $$(2y - 14)^2 = y^2 + 5y$$.

$$4y^2 - 56y + 196 = y^2 + 5y$$.

$$3y^2 - 61y + 196 = 0$$.

$$D = 61^2 - 4 \cdot 3 \cdot 196 = 3721 - 2352 = 1369 = 37^2$$.

$$y_1 = \frac{61 + 37}{6} = \frac{98}{6} = \frac{49}{3}$$.

$$y_2 = \frac{61 - 37}{6} = \frac{24}{6} = 4$$.

Проверим корни:

$$y = 4$$. $$2 \cdot 4 - 14 = -6$$, а $$√{4^2 + 5 \cdot 4} = √{16 + 20} = √{36} = 6$$.

$$y = \frac{49}{3}$$. $$2 \cdot \frac{49}{3} - 14 = \frac{98}{3} - \frac{42}{3} = \frac{56}{3}$$, а $$√{(\frac{49}{3})^2 + 5 \cdot \frac{49}{3}} = √{\frac{2401}{9} + \frac{245}{3}} = √{\frac{2401 + 735}{9}} = √{\frac{3136}{9}} = \frac{56}{3}$$. Но перед корнем минус, значит, подходит только $$y = 4$$.

Теперь решим уравнение $$x^2 - 3x = 4$$.

$$x^2 - 3x - 4 = 0$$.

$$D = 9 + 16 = 25$$.

$$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$.

$$x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$$.

Проверим корни:

$$x = 4$$. $$√{16 - 12} + √{16 - 12 + 5} = √4 + √9 = 2 + 3 = 5$$.

$$√{33 - 2 \cdot 16 + 6 \cdot 4} = √{33 - 32 + 24} = √{25} = 5$$.

$$x = -1$$. $$√{1 + 3} + √{1 + 3 + 5} = √4 + √9 = 2 + 3 = 5$$.

$$√{33 - 2 \cdot 1 - 6} = √{33 - 2 - 6} = √{25} = 5$$.

Ответ: $$x = -1, x = 4$$.

---

г) $$√{x + 4} - 3\sqrt[4]{x + 4} + 2 = 0$$.

Пусть $$y = \sqrt[4]{x + 4}$$, тогда $$y^2 = √{x + 4}$$, и уравнение примет вид: $$y^2 - 3y + 2 = 0$$.

$$D = 9 - 8 = 1$$.

$$y_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$.

$$y_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$$.

Теперь решим уравнения:

$$\sqrt[4]{x + 4} = 2$$.

$$x + 4 = 16$$.

$$x = 12$$.

$$\sqrt[4]{x + 4} = 1$$.

$$x + 4 = 1$$.

$$x = -3$$.

Проверим корни:

$$x = 12$$. $$√{12 + 4} - 3\sqrt[4]{12 + 4} + 2 = √{16} - 3\sqrt[4]{16} + 2 = 4 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$$.

$$x = -3$$. $$√{-3 + 4} - 3\sqrt[4]{-3 + 4} + 2 = √1 - 3\sqrt[4]{1} + 2 = 1 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$.

Ответ: $$x = -3, x = 12$$.