1. Решите уравнения: a) 4x² - 20 = 0; б) 3x² + 5x = 0; в) х²- 5x - 24 = 0; г) 7х2 - 22х + 3 = 0; д) 7х2 - 6x + 2 = 0; е) 4x² + 12x + 9=0 2. Составьте приведенное квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а произведение - числу 4. 3. Одна из сторон прямоугольника на 6 см меньше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 72 см². 4. Число 4 является корнем уравнения 3х2 + bx + 4 = 0. Найдите значение в и второй корень уравнения. 5. Разложите на множители квадратный трехчлен a) x²-4x-32; 6) 4x² - 15x + 9 6. Сократите дробь: 4a2+a-3/a2-1 7. Решите уравнение: 10/х2-100 + x-20/x²+10x - 5/x²-10x = 0

1. Решите уравнения:

a) \(4x^2 - 20 = 0\)

Давай решим это уравнение. Сначала перенесем константу в правую часть:

\[4x^2 = 20\]

Теперь разделим обе части на 4:

\[x^2 = 5\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[x = \pm\sqrt{5}\]

Ответ: \(x = \sqrt{5}\) и \(x = -\sqrt{5}\)

б) \(3x^2 + 5x = 0\)

Вынесем x за скобки:

\[x(3x + 5) = 0\]

Теперь у нас два возможных решения:

1. \(x = 0\)
2. \(3x + 5 = 0\)

Решим второе уравнение:

\[3x = -5\] \[x = -\frac{5}{3}\]

Ответ: \(x = 0\) и \(x = -\frac{5}{3}\)

в) \(x^2 - 5x - 24 = 0\)

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{121}}{2} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{121}}{2} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Ответ: \(x = 8\) и \(x = -3\)

г) \(7x^2 - 22x + 3 = 0\)

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 484 - 84 = 400\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + \sqrt{400}}{14} = \frac{22 + 20}{14} = \frac{42}{14} = 3\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - \sqrt{400}}{14} = \frac{22 - 20}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}\]

Ответ: \(x = 3\) и \(x = \frac{1}{7}\)

д) \(7x^2 - 6x + 2 = 0\)

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 36 - 56 = -20\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.

e) \(4x^2 + 12x + 9 = 0\)

Заметим, что это полный квадрат:

\[(2x + 3)^2 = 0\]

Тогда:

\[2x + 3 = 0\] \[2x = -3\] \[x = -\frac{3}{2}\]

Ответ: \(x = -\frac{3}{2}\)

2. Составьте приведенное квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а произведение - числу 4.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид:

\[x^2 + px + q = 0\]

По теореме Виета, сумма корней равна -p, а произведение равно q. Значит:

\[-p = 6 \Rightarrow p = -6\] \[q = 4\]

Таким образом, уравнение имеет вид:

\[x^2 - 6x + 4 = 0\]

Ответ: \(x^2 - 6x + 4 = 0\)

3. Одна из сторон прямоугольника на 6 см меньше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 72 см².

Пусть одна сторона равна x, тогда другая равна x - 6. Площадь прямоугольника равна произведению сторон:

\[x(x - 6) = 72\] \[x^2 - 6x - 72 = 0\]

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324\] \[x_1 = \frac{6 + \sqrt{324}}{2} = \frac{6 + 18}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[x_2 = \frac{6 - \sqrt{324}}{2} = \frac{6 - 18}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

Так как сторона не может быть отрицательной, то x = 12. Тогда другая сторона равна 12 - 6 = 6.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 12 см и 6 см.

4. Число 4 является корнем уравнения \(3x^2 + bx + 4 = 0\). Найдите значение b и второй корень уравнения.

Так как 4 является корнем уравнения, подставим его в уравнение:

\[3(4)^2 + b(4) + 4 = 0\] \[48 + 4b + 4 = 0\] \[4b = -52\] \[b = -13\]

Теперь уравнение имеет вид:

\[3x^2 - 13x + 4 = 0\]

Пусть второй корень равен x₂. По теореме Виета, произведение корней равно \(\frac{c}{a} = \frac{4}{3}\). Значит:

\[4 \cdot x_2 = \frac{4}{3}\] \[x_2 = \frac{1}{3}\]

Ответ: \(b = -13\) и второй корень \(x = \frac{1}{3}\)

5. Разложите на множители квадратный трехчлен

a) \(x^2 - 4x - 32\)

Найдем корни этого квадратного трехчлена:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144\] \[x_1 = \frac{4 + \sqrt{144}}{2} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{4 - \sqrt{144}}{2} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

Тогда разложение на множители имеет вид:

\[(x - 8)(x + 4)\]

Ответ: \((x - 8)(x + 4)\)

б) \(4x^2 - 15x + 9\)

Найдем корни этого квадратного трехчлена:

\[D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81\] \[x_1 = \frac{15 + \sqrt{81}}{8} = \frac{15 + 9}{8} = \frac{24}{8} = 3\] \[x_2 = \frac{15 - \sqrt{81}}{8} = \frac{15 - 9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]

Тогда разложение на множители имеет вид:

\[4(x - 3)(x - \frac{3}{4}) = (x - 3)(4x - 3)\]

Ответ: \((x - 3)(4x - 3)\)

6. Сократите дробь: \(\frac{4a^2 + a - 3}{a^2 - 1}\)

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного трехчлена \(4a^2 + a - 3\):

\[D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49\] \[a_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{8} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\] \[a_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{8} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1\]

Тогда числитель можно разложить как \(4(a - \frac{3}{4})(a + 1) = (4a - 3)(a + 1)\). Знаменатель можно разложить как \((a - 1)(a + 1)\). Таким образом, дробь имеет вид:

\[\frac{(4a - 3)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)}\]

Сократим на (a + 1):

\[\frac{4a - 3}{a - 1}\]

Ответ: \(\frac{4a - 3}{a - 1}\)

7. Решите уравнение: \(\frac{10}{x^2 - 100} + \frac{x - 20}{x^2 + 10x} - \frac{5}{x^2 - 10x} = 0\)

Разложим знаменатели на множители:

\[\frac{10}{(x - 10)(x + 10)} + \frac{x - 20}{x(x + 10)} - \frac{5}{x(x - 10)} = 0\]

Приведем к общему знаменателю \(x(x - 10)(x + 10)\):

\[\frac{10x + (x - 20)(x - 10) - 5(x + 10)}{x(x - 10)(x + 10)} = 0\]

Упростим числитель:

\[10x + (x^2 - 30x + 200) - 5x - 50 = 0\] \[x^2 - 25x + 150 = 0\]

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 625 - 600 = 25\] \[x_1 = \frac{25 + \sqrt{25}}{2} = \frac{25 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15\] \[x_2 = \frac{25 - \sqrt{25}}{2} = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10\]

Но x не может равняться 10, так как это приведет к делению на ноль. Значит, x = 15.

Ответ: \(x = 15\)

Ты отлично поработал! Решение задач - это как восхождение на гору, каждый шаг приближает тебя к вершине. Не останавливайся на достигнутом, и ты сможешь покорить любые математические вершины!