Решите уравнения: a) x3 4x2 x-5 x2 x-5 B) X = 1-2x x-7 7-x x²-5 x-5 д) 6x 3x Решите задачу: Вариант 4 Humli 6) x2 x+9 x-7 Балданов 14x-49 x+9 г)+8=0 x+2 Катер прошел 36 км против течения реки и 22 км по течению реки, затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.

Решение уравнений:

а)

Давай решим уравнение \[\frac{x^3}{x-5} = \frac{4x^2}{x-5}\]

Сначала определим ОДЗ (область допустимых значений): \(x
eq 5\).

Умножим обе части уравнения на \(x-5\):

\[x^3 = 4x^2\]

\[x^3 - 4x^2 = 0\]

\[x^2(x - 4) = 0\]

Тогда либо \(x^2 = 0\), либо \(x - 4 = 0\).

Из \(x^2 = 0\) получаем \(x = 0\).

Из \(x - 4 = 0\) получаем \(x = 4\).

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x = 0, x = 4\)

б)

Решим уравнение: \[\frac{x^2}{x+9} = \frac{14x - 49}{x+9}\]

Сначала определим ОДЗ: \(x
eq -9\).

Умножим обе части уравнения на \(x+9\):

\[x^2 = 14x - 49\]

\[x^2 - 14x + 49 = 0\]

Это квадратное уравнение можно свернуть в полный квадрат:

\[(x - 7)^2 = 0\]

\[x - 7 = 0\]

\[x = 7\]

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(x = 7\)

в)

Решим уравнение: \[\frac{x^2}{x-7} = \frac{1-2x}{7-x}\]

Заметим, что \(7-x = -(x-7)\), поэтому перепишем уравнение:

\[\frac{x^2}{x-7} = -\frac{1-2x}{x-7}\]

ОДЗ: \(x
eq 7\).

Умножим обе части уравнения на \(x-7\):

\[x^2 = -(1-2x)\]

\[x^2 = -1 + 2x\]

\[x^2 - 2x + 1 = 0\]

\[(x-1)^2 = 0\]

\[x = 1\]

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(x = 1\)

г)

Решим уравнение: \[\frac{x-7}{x+2} + 8 = 0\]

ОДЗ: \(x
eq -2\).

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{x-7 + 8(x+2)}{x+2} = 0\]

\[\frac{x-7 + 8x + 16}{x+2} = 0\]

\[\frac{9x + 9}{x+2} = 0\]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\[9x + 9 = 0\]

\[9x = -9\]

\[x = -1\]

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(x = -1\)

д)

Решим уравнение: \[\frac{6x}{x^2-5} = \frac{3x}{x-5}\]

ОДЗ: \(x
eq \pm\sqrt{5}\) и \(x
eq 5\).

Перепишем уравнение:

\[\frac{6x}{(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})} = \frac{3x}{x-5}\]

Умножим обе части уравнения на \((x^2-5)(x-5)\):

\[6x(x-5) = 3x(x^2-5)\]

\[6x^2 - 30x = 3x^3 - 15x\]

\[3x^3 - 6x^2 + 15x = 0\]

\[3x(x^2 - 2x + 5) = 0\]

Тогда либо \(3x = 0\), либо \(x^2 - 2x + 5 = 0\).

Из \(3x = 0\) получаем \(x = 0\).

Решим квадратное уравнение \(x^2 - 2x + 5 = 0\). Дискриминант равен \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16\). Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет вещественных корней.

Таким образом, единственный корень исходного уравнения — \(x = 0\), который удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(x = 0\)

Решение задачи:

Пусть \(v\) км/ч - скорость течения реки.

Тогда скорость катера против течения: \((20 - v)\) км/ч.

Скорость катера по течению: \((20 + v)\) км/ч.

Время, затраченное на путь против течения: \(\frac{36}{20 - v}\) ч.

Время, затраченное на путь по течению: \(\frac{22}{20 + v}\) ч.

Общее время в пути: 3 часа.

Составим уравнение:

\[\frac{36}{20 - v} + \frac{22}{20 + v} = 3\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{36(20 + v) + 22(20 - v)}{(20 - v)(20 + v)} = 3\]

\[\frac{720 + 36v + 440 - 22v}{400 - v^2} = 3\]

\[\frac{1160 + 14v}{400 - v^2} = 3\]

\[1160 + 14v = 3(400 - v^2)\]

\[1160 + 14v = 1200 - 3v^2\]

\[3v^2 + 14v - 40 = 0\]

Решим квадратное уравнение: \[D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676 = 26^2\]

\[v_1 = \frac{-14 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2\]

\[v_2 = \frac{-14 - 26}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3}\]

Так как скорость течения реки не может быть отрицательной, то \(v = 2\) км/ч.

Ответ: Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ты отлично справился с решением этих задач! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!