9. Решите в натуральных числах уравнение: abc + ab + bc + ac + a + b + c = 164 В ответе укажите произведение авс.

Для решения уравнения abc + ab + bc + ac + a + b + c = 164 в натуральных числах, преобразуем уравнение:

abc + ab + bc + ac + a + b + c + 1 = 164 + 1

a(bc + b + c + 1) + (b + 1)(c + 1) = 165

a(b(c + 1) + (c + 1)) + (b + 1)(c + 1) = 165

a(b + 1)(c + 1) + (b + 1)(c + 1) = 165

(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 165

Теперь разложим 165 на простые множители: 165 = 3 × 5 × 11. Поскольку a, b, c — натуральные числа, a + 1, b + 1, c + 1 — целые числа, большие 1. Поэтому возможны следующие варианты:

a + 1 = 3, b + 1 = 5, c + 1 = 11, тогда a = 2, b = 4, c = 10

a + 1 = 3, b + 1 = 11, c + 1 = 5, тогда a = 2, b = 10, c = 4

a + 1 = 5, b + 1 = 3, c + 1 = 11, тогда a = 4, b = 2, c = 10

a + 1 = 5, b + 1 = 11, c + 1 = 3, тогда a = 4, b = 10, c = 2

a + 1 = 11, b + 1 = 3, c + 1 = 5, тогда a = 10, b = 2, c = 4

a + 1 = 11, b + 1 = 5, c + 1 = 3, тогда a = 10, b = 4, c = 2

В каждом из этих случаев произведение abc будет одинаковым:

abc = 2 × 4 × 10 = 80

abc = 2 × 10 × 4 = 80

abc = 4 × 2 × 10 = 80

abc = 4 × 10 × 2 = 80

abc = 10 × 2 × 4 = 80

abc = 10 × 4 × 2 = 80

Ответ: 80