Решите в целых числах уравнение $$-3xy - 10x + 13y + 35 = 0$$.

Question

Вопрос:

Решите в целых числах уравнение $$-3xy - 10x + 13y + 35 = 0$$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Перепишем уравнение, чтобы выделить множители:

$-3xy - 10x + 13y + 35 = 0$

Умножим всё на -3, чтобы получить $9xy$:

\[ 9xy + 30x - 39y - 105 = 0 \]

Сгруппируем члены:

\[ (9xy + 30x) - (39y + 105) = 0 \]

Вынесем общие множители:

\[ 3x(3y + 10) - 13(3y + \frac{105}{13}) = 0 \]

Чтобы получить одинаковые скобки, домножим уравнение на 3:

\[ 9x(3y + 10) - 39y - 105 = 0 \]

Снова вернемся к исходному уравнению и попробуем иначе:

\[ -3xy - 10x + 13y + 35 = 0 \]

Прибавим и вычтем подходящие числа, чтобы выделить множители:

\[ -3xy - 10x + 13y + 35 = 0 \]

\[ 3xy + 10x - 13y - 35 = 0 \]

Умножим на 3:

\[ 9xy + 30x - 39y - 105 = 0 \]

\[ 3x(3y + 10) - 13(3y + 10) + 130 - 105 = 0 \]

\[ (3x - 13)(3y + 10) + 25 = 0 \]

\[ (3x - 13)(3y + 10) = -25 \]

Теперь нужно найти пары множителей числа -25. Множители числа 25: $ \pm 1, \pm 5, \pm 25 $.

Возможные пары множителей для $ -25 $:

$ 3x - 13 = 1 $ и $ 3y + 10 = -25 $

$ 3x = 14 $ (нет целого решения для x)

$ 3x - 13 = -1 $ и $ 3y + 10 = 25 $

$ 3x = 12 $ $\Rightarrow$ $ x = 4 $
$ 3y = 15 $ $\Rightarrow$ $ y = 5 $
Решение: (4, 5)

$ 3x - 13 = 5 $ и $ 3y + 10 = -5 $

$ 3x = 18 $ $\Rightarrow$ $ x = 6 $
$ 3y = -15 $ $\Rightarrow$ $ y = -5 $
Решение: (6, -5)

$ 3x - 13 = -5 $ и $ 3y + 10 = 5 $

$ 3x = 8 $ (нет целого решения для x)

$ 3x - 13 = 25 $ и $ 3y + 10 = -1 $

$ 3x = 38 $ (нет целого решения для x)

$ 3x - 13 = -25 $ и $ 3y + 10 = 1 $

$ 3x = -12 $ $\Rightarrow$ $ x = -4 $
$ 3y = -9 $ $\Rightarrow$ $ y = -3 $
Решение: (-4, -3)

$ 3x - 13 = 1 $ и $ 3y + 10 = -25 $

$ 3x = 14 $ (нет целого решения для x)

$ 3x - 13 = -1 $ и $ 3y + 10 = 25 $

$ 3x = 12 $ $\Rightarrow$ $ x = 4 $
$ 3y = 15 $ $\Rightarrow$ $ y = 5 $
Решение: (4, 5)

$ 3x - 13 = 5 $ и $ 3y + 10 = -5 $

$ 3x = 18 $ $\Rightarrow$ $ x = 6 $
$ 3y = -15 $ $\Rightarrow$ $ y = -5 $
Решение: (6, -5)

$ 3x - 13 = -5 $ и $ 3y + 10 = 5 $

$ 3x = 8 $ (нет целого решения для x)

$ 3x - 13 = 25 $ и $ 3y + 10 = -1 $

$ 3x = 38 $ (нет целого решения для x)

$ 3x - 13 = -25 $ и $ 3y + 10 = 1 $

$ 3x = -12 $ $\Rightarrow$ $ x = -4 $
$ 3y = -9 $ $\Rightarrow$ $ y = -3 $
Решение: (-4, -3)

Ответ: (4, 5), (6, -5), (-4, -3).