Решите в целых числах уравнение: 1) xy = x + y; 2) xy - x - 2y = 5. Решите в целых числах уравнение 2ху + 2x – 3y - 4 = 0. . Докажите, что при любых нечётных натуральных зна 171 1 In on.

1) Решите в целых числах уравнение: xy = x + y

Преобразуем уравнение:

• Шаг 1: Выразим x через y:

\[xy = x + y \] \[xy - x = y \] \[x(y - 1) = y \] \[x = \frac{y}{y - 1} \]

• Шаг 2: Преобразуем дробь, чтобы выделить целую часть:

\[x = \frac{y - 1 + 1}{y - 1} = \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{1}{y - 1} = 1 + \frac{1}{y - 1} \]

• Шаг 3: Для того чтобы x было целым числом, необходимо, чтобы \(\frac{1}{y - 1}\) было целым числом. Это возможно только если y - 1 является делителем 1.
• Шаг 4: Делители 1: 1 и -1.
• Шаг 5: Рассмотрим оба случая:

a) y - 1 = 1, тогда y = 2. Подставим в выражение для x: x = 1 + \(\frac{1}{1}\) = 2.

б) y - 1 = -1, тогда y = 0. Подставим в выражение для x: x = 1 + \(\frac{1}{-1}\) = 0.

• Шаг 6: Получаем два решения:

(2; 2) и (0; 0).

2) Решите в целых числах уравнение: xy - x - 2y = 5

• Шаг 1: Преобразуем уравнение:

\[xy - x - 2y = 5 \] \[x(y - 1) - 2y = 5 \] \[x(y - 1) - 2y + 2 = 5 + 2 \] \[x(y - 1) - 2(y - 1) = 7 \] \[(x - 2)(y - 1) = 7 \]

• Шаг 2: Разложим 7 на множители:

7 = 1 * 7 = 7 * 1 = -1 * -7 = -7 * -1.

• Шаг 3: Рассмотрим все случаи:

a) x - 2 = 1 и y - 1 = 7, тогда x = 3 и y = 8. Решение: (3; 8).

б) x - 2 = 7 и y - 1 = 1, тогда x = 9 и y = 2. Решение: (9; 2).

в) x - 2 = -1 и y - 1 = -7, тогда x = 1 и y = -6. Решение: (1; -6).

г) x - 2 = -7 и y - 1 = -1, тогда x = -5 и y = 0. Решение: (-5; 0).

• Шаг 4: Получаем четыре решения:

(3; 8), (9; 2), (1; -6), (-5; 0).

3) Решите в целых числах уравнение 2xy + 2x – 3y - 4 = 0

• Шаг 1: Преобразуем уравнение:

\[2xy + 2x - 3y - 4 = 0 \] \[2x(y + 1) - 3y - 4 = 0 \] \[2x(y + 1) = 3y + 4 \] \[2x(y + 1) = 3(y + 1) + 1 \] \[x = \frac{3(y + 1) + 1}{2(y + 1)} \] \[x = \frac{3}{2} + \frac{1}{2(y + 1)} \]

• Шаг 2: Преобразуем уравнение так, чтобы избавиться от дроби:

\[2x = 3 + \frac{1}{y + 1} \]

• Шаг 3: Чтобы x был целым, необходимо, чтобы \(\frac{1}{y + 1}\) было целым, а значит, y + 1 должно быть делителем 1.
• Шаг 4: Делители 1: 1 и -1.
• Шаг 5: Рассмотрим случаи:

a) y + 1 = 1, тогда y = 0. Подставим в выражение для 2x: 2x = 3 + \(\frac{1}{1}\) = 4, следовательно, x = 2. Решение: (2; 0).

б) y + 1 = -1, тогда y = -2. Подставим в выражение для 2x: 2x = 3 + \(\frac{1}{-1}\) = 2, следовательно, x = 1. Решение: (1; -2).

• Шаг 6: Получаем два решения:

(2; 0) и (1; -2).