Решите выражение: \( \frac{7}{19} \cdot (\frac{5}{12} + \frac{3}{8}) : 1 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{8} : (1 \frac{1}{5} - \frac{1}{4}) \)

Решение:

Данное выражение решается по действиям:

1. Сложение дробей в первой скобке:
   \( \frac{5}{12} + \frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{10}{24} + \frac{9}{24} = \frac{19}{24} \)
2. Умножение первой дроби на сумму:
   \( \frac{7}{19} \cdot \frac{19}{24} = \frac{7 \cdot 19}{19 \cdot 24} = \frac{7}{24} \)
3. Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби:
   \( 1 \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \)
   \( 1 \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8} \)
4. Вычитание во второй скобке:
   \( 1 \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = \frac{6}{5} - \frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{24}{20} - \frac{5}{20} = \frac{19}{20} \)
5. Деление первой полученной дроби:
   \( \frac{7}{24} : \frac{4}{3} = \frac{7}{24} \cdot \frac{3}{4} = \frac{7 \cdot 3}{24 \cdot 4} = \frac{21}{96} \)
6. Деление второй полученной дроби:
   \( \frac{9}{8} : \frac{19}{20} = \frac{9}{8} \cdot \frac{20}{19} = \frac{9 \cdot 20}{8 \cdot 19} = \frac{180}{152} \)
7. Вычитание результатов делений:
   \( \frac{21}{96} - \frac{180}{152} \)
8. Приведение дробей к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 96 и 152 — 384.
   \( \frac{21 \cdot 4}{96 \cdot 4} = \frac{84}{384} \)
   \( \frac{180 \cdot 2.5}{152 \cdot 2.5} \) — здесь есть ошибка, давайте найдем НОК(96, 152).
   \( 96 = 2^5 \cdot 3 \)
   \( 152 = 2^3 \cdot 19 \)
   НОК(96, 152) = \( 2^5 \cdot 3 \cdot 19 = 32 \cdot 57 = 1824 \)
   \( \frac{21}{96} = \frac{21 \cdot 19}{96 \cdot 19} = \frac{399}{1824} \)
   \( \frac{180}{152} = \frac{180 \cdot 12}{152 \cdot 12} = \frac{2160}{1824} \)
9. Финальное вычитание:
   \( \frac{399}{1824} - \frac{2160}{1824} = \frac{399 - 2160}{1824} = \frac{-1761}{1824} \)
10. Сокращение дроби.
    \( -1761 \) делится на 3: \( -1761 : 3 = -587 \)
    \( 1824 \) делится на 3: \( 1824 : 3 = 608 \)
    Получаем: \( \frac{-587}{608} \)

Ответ: \( -\frac{587}{608} \).