Решите задачи. Для каждой задачи обязательно построить чертеж, записать решение и ответ. 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 6 и 5. Объем параллелепипеда равен 90. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.. 2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6. Найдите объем параллелепипеда. 3. Найдите объем Ѵ конуса, образующая которого равна 51 и наклонена к плоскости основания под углом 30. В ответе укажите П. 4. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов. 5. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 10√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30°. 6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. 7. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 80. Найдите высоту цилиндра. 8. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Разбираемся:

Для решения этих задач нам понадобятся знания о геометрических фигурах и формулы для расчета их объемов.

1. Параллелепипед

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трех измерений (длины, ширины и высоты). Значит, чтобы найти третье ребро, нужно объем разделить на произведение двух известных ребер.

Логика такая:

• Пусть третье ребро равно x.
• Тогда 6 * 5 * x = 90.
• 30 * x = 90.
• x = 90 / 30.
• x = 3.

Ответ: 3

2. Параллелепипед, описанный около цилиндра

Если прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то диаметр основания цилиндра равен стороне основания параллелепипеда, а высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Значит, стороны основания параллелепипеда равны 2r, где r – радиус основания цилиндра.

Логика такая:

• Радиус основания цилиндра равен 6, следовательно, стороны основания параллелепипеда равны 2 * 6 = 12.
• Высота параллелепипеда равна высоте цилиндра, то есть 6.
• Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: V = a * b * h = 12 * 12 * 6 = 864.

Ответ: 864

3. Объем конуса

Объем конуса можно найти по формуле V = (1/3) * П * r^2 * h, где r – радиус основания, h – высота конуса. Образующая конуса равна 51 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Значит, высота конуса h = l * sin(30°), где l – образующая конуса, а радиус основания r = l * cos(30°).

Логика такая:

• h = 51 * sin(30°) = 51 * (1/2) = 25.5
• r = 51 * cos(30°) = 51 * (√3/2)
• V = (1/3) * П * (51 * (√3/2))^2 * 25.5 = (1/3) * П * (51^2 * 3/4) * 25.5 = (1/3) * П * (2601 * 3/4) * 25.5

В ответе нужно указать V/П:

• V/П = (1/3) * (2601 * 3/4) * 25.5 = (2601/4) * 25.5 = 650.25 * 25.5 = 16581.375

Ответ: 16581.375

4. Сумма объемов шаров

Объем шара можно найти по формуле V = (4/3) * П * r^3, где r – радиус шара. Сначала найдем объемы трех шаров, затем сложим их и найдем радиус шара, объем которого равен этой сумме.

Логика такая:

• V1 = (4/3) * П * 6^3 = (4/3) * П * 216 = 288П
• V2 = (4/3) * П * 8^3 = (4/3) * П * 512 = 682.67П
• V3 = (4/3) * П * 10^3 = (4/3) * П * 1000 = 1333.33П
• V_total = V1 + V2 + V3 = 288П + 682.67П + 1333.33П = 2304П

Найдем радиус шара, объем которого равен сумме объемов:

• V_total = (4/3) * П * r^3
• 2304П = (4/3) * П * r^3
• r^3 = (2304 * 3) / 4 = 1728
• r = ∛1728 = 12

Ответ: 12

5. Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной 2. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле S = (3√3/2) * a^2, где a – сторона шестиугольника. Боковые ребра призмы равны 10√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30°. Значит, высота призмы h = l * sin(30°), где l – боковое ребро.

Логика такая:

• S = (3√3/2) * 2^2 = (3√3/2) * 4 = 6√3
• h = 10√3 * sin(30°) = 10√3 * (1/2) = 5√3
• V = S * h = 6√3 * 5√3 = 30 * 3 = 90

Ответ: 90

6. Объем пирамиды

Объем пирамиды можно найти по формуле V = (1/3) * S * h, где S – площадь основания, h – высота пирамиды. В основании пирамиды лежит правильный четырехугольник (квадрат). Высота пирамиды равна 3, боковое ребро равно 10. Найдем сторону основания.

Логика такая:

• Пусть сторона основания равна a. Тогда половина диагонали основания равна a√2 / 2.
• Боковое ребро, высота и половина диагонали основания образуют прямоугольный треугольник.
• По теореме Пифагора: (a√2 / 2)^2 + 3^2 = 10^2
• a^2 * 2 / 4 + 9 = 100
• a^2 / 2 = 91
• a^2 = 182
• S = a^2 = 182
• V = (1/3) * 182 * 3 = 182

Ответ: 182

7. Параллелепипед, описанный около цилиндра

Если прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то диаметр основания цилиндра равен стороне основания параллелепипеда. Объем параллелепипеда равен 80, радиус основания цилиндра равен 4. Значит, стороны основания параллелепипеда равны 2r, где r – радиус основания цилиндра. Высота параллелепипеда равна объему, деленному на площадь основания.

Логика такая:

• Сторона основания параллелепипеда равна 2 * 4 = 8.
• Площадь основания равна 8 * 8 = 64.
• Высота параллелепипеда (и цилиндра) равна 80 / 64 = 1.25.

Ответ: 1.25

8. Цилиндрический сосуд

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде остается постоянным при переливании. Объем цилиндра V = П * r^2 * h, где r – радиус основания, h – высота. Если диаметр второго сосуда в 4 раза больше диаметра первого, то радиус второго сосуда в 4 раза больше радиуса первого. Значит, площадь основания второго сосуда в 16 раз больше площади основания первого сосуда.

Логика такая:

• Пусть h1 – высота жидкости в первом сосуде, h2 – высота жидкости во втором сосуде.
• П * r1^2 * h1 = П * r2^2 * h2
• r2 = 4 * r1
• П * r1^2 * 48 = П * (4 * r1)^2 * h2
• r1^2 * 48 = 16 * r1^2 * h2
• 48 = 16 * h2
• h2 = 48 / 16 = 3

Ответ: 3 см