Решите задачи: Пример 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Задача относится к теории вероятностей, а именно к схеме Бернулли, поскольку каждый вынутый шар возвращается в урну, и, следовательно, вероятности вынуть белый или черный шар остаются постоянными при каждом испытании.

Всего в урне 20 белых и 10 черных шаров, значит, общее количество шаров равно 30.

Вероятность вынуть белый шар (p) равна отношению количества белых шаров к общему количеству шаров:

$$p = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$$

Вероятность вынуть черный шар (q) равна:

$$q = 1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

Нам нужно найти вероятность того, что из 4 вынутых шаров окажется 2 белых. Это можно рассчитать по формуле Бернулли:

$$P(k=2) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

где:

• $$n$$ - общее количество испытаний (в нашем случае 4)
• $$k$$ - количество успешных испытаний (в нашем случае 2 белых шара)
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании (вероятность вынуть белый шар)
• $$q$$ - вероятность неудачи в одном испытании (вероятность вынуть черный шар)
• $$C_n^k$$ - количество сочетаний из n по k, которое рассчитывается по формуле: $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Рассчитаем количество сочетаний из 4 по 2:

$$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$$

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

$$P(k=2) = 6 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^{4-2} = 6 \cdot (\frac{4}{9}) \cdot (\frac{1}{9}) = 6 \cdot \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$$

Таким образом, вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых, равна $$\frac{8}{27}$$.

Ответ: $$\frac{8}{27}$$