3.* Решите задачи. а) У двойной звезды годичный параллакс п = 0,05", большая полуось видимой орбиты а = 2,0", а период обращения компонен- тов Т = 100 лет. Найдите сумму масс звезд, а также массу каждой звезды в отдельности, если звезды отстоят от центра масс на рас- стояниях, относящихся как 4 : 1. б) Оцените минимальный период обращения спутника нейтронной звезды. Плотность нейтронной звезды принять р = 1017 кг/м³.

Решение задачи (а)

Для решения задачи о двойной звезде используем третий закон Кеплера:

\[T^2 = \frac{4\pi^2a^3}{G(M_1 + M_2)}\]

где:

• \(T\) - период обращения,
• \(a\) - большая полуось орбиты,
• \(G\) - гравитационная постоянная,
• \(M_1 + M_2\) - сумма масс звезд.

Сначала найдем расстояние до звезды, используя параллакс:

\[r = \frac{1}{\pi} = \frac{1}{0.05} = 20 \text{ парсек}\]

Переведем большую полуось из угловых секунд в астрономические единицы:

\[a = 2.0'' \times 20 \text{ пк} = 40 \text{ а.е.}\]

Теперь выразим сумму масс в массах Солнца, используя период в годах и большую полуось в астрономических единицах:

\[M_1 + M_2 = \frac{a^3}{T^2} = \frac{40^3}{100^2} = \frac{64000}{10000} = 6.4 M_{\odot}\]

Так как звезды отстоят от центра масс в отношении 4:1, то массы относятся как 1:4 (обратно пропорционально расстояниям):

\[\frac{M_1}{M_2} = \frac{1}{4}\]

Пусть \(M_1 = x\), тогда \(M_2 = 4x\). Сумма масс:

\[x + 4x = 6.4 M_{\odot}\] \[5x = 6.4 M_{\odot}\] \[x = \frac{6.4}{5} = 1.28 M_{\odot}\]

Тогда массы звезд:

\[M_1 = 1.28 M_{\odot}\] \[M_2 = 4 \times 1.28 = 5.12 M_{\odot}\]

Решение задачи (б)

Для оценки минимального периода обращения спутника нейтронной звезды используем формулу:

\[T = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}\]

где:

• \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ Н\cdotм}^2/\text{кг}^2\) - гравитационная постоянная,
• \(\rho = 10^{17} \text{ кг/м}^3\) - плотность нейтронной звезды.

Подставим значения:

\[T = \sqrt{\frac{3\pi}{6.674 \times 10^{-11} \times 10^{17}}} = \sqrt{\frac{3\pi}{6.674 \times 10^{6}}} \approx \sqrt{\frac{9.42}{6.674 \times 10^{6}}} \approx \sqrt{1.41 \times 10^{-6}} \approx 1.19 \times 10^{-3} \text{ с} \approx 0.00119 \text{ с}\]

Минимальный период обращения спутника нейтронной звезды составляет примерно 0.00119 секунды.