Решите задачу. 6) В подъезде, где проживает пятиклассник Миша, решили заменить старые почтовые ящики на новые металлические. Каждый ящик — это прямоугольный параллелепипед. Длина ящика — 3 дм, ширина — на 4 см меньше длины, а высота — в 2 раза больше ширины. Для изготовления одного ящика нужен металлический каркас по всем рёбрам, внешние поверхности (кроме задней стенки) будут покрыты эмалью. Найдите, сколько сантиметров металлического уголка потребуется для изготовления каркаса одного ящика. Рассчитайте, какова площадь поверхности, которая нужно окрасить эмалью для одного ящика.

Решение:

Сначала переведем все размеры в одну единицу измерения, например, в сантиметры. \( 1 \) дм = \( 10 \) см.

1. Размеры ящика:
   Длина \( (l) \): \( 3 \) дм = \( 30 \) см.
   Ширина \( (w) \): на \( 4 \) см меньше длины, значит \( 30 - 4 = 26 \) см.
   Высота \( (h) \): в \( 2 \) раза больше ширины, значит \( 26 \times 2 = 52 \) см.
2. Длина металлического уголка (периметр каркаса):
   У прямоугольного параллелепипеда \( 12 \) ребер: \( 4 \) длины, \( 4 \) ширины, \( 4 \) высоты.
   \( P = 4l + 4w + 4h \)
   \( P = 4 \times 30 + 4 \times 26 + 4 \times 52 \)
   \( P = 120 + 104 + 208 = 432 \) см.
3. Площадь поверхности для окраски эмалью:
   Нужно окрасить все внешние поверхности, кроме задней стенки. Это передняя стенка, верхняя, нижняя и две боковые стенки.
   Площадь передней стенки: \( S_{передняя} = l \times h = 30 \times 52 = 1560 \) см².
   Площадь верхней стенки: \( S_{верхняя} = l \times w = 30 \times 26 = 780 \) см².
   Площадь нижней стенки: \( S_{нижняя} = l \times w = 30 \times 26 = 780 \) см².
   Площадь боковой стенки (одна): \( S_{боковая} = w \times h = 26 \times 52 = 1352 \) см².
   Площадь двух боковых стенок: \( 2 \times 1352 = 2704 \) см².
   Общая площадь для окраски: \( S_{окраски} = S_{передняя} + S_{верхняя} + S_{нижняя} + 2 \times S_{боковая} \)
   \( S_{окраски} = 1560 + 780 + 780 + 2704 = 5824 \) см².
   
   Альтернативный расчет площади:
   Площадь всей поверхности параллелепипеда: \( S_{полная} = 2(lw + lh + wh) \)
   \( S_{полная} = 2(30 \times 26 + 30 \times 52 + 26 \times 52) \)
   \( S_{полная} = 2(780 + 1560 + 1352) = 2(3692) = 7384 \) см².
   Площадь задней стенки: \( S_{задняя} = w \times h = 26 \times 52 = 1352 \) см².
   Площадь для окраски: \( S_{окраски} = S_{полная} - S_{задняя} = 7384 - 1352 = 6032 \) см².
   
   Внимательно перечитаем условие: «внешние поверхности (кроме задней стенки) будут покрыты эмалью». Задняя стенка — это стенка, которая находится в подъезде. Если представить, что ящик открывается вперед, то задняя стенка — это та, что будет прилегать к стене подъезда. Обычно размеры указываются как длина, ширина, высота. В данном случае, если длина - 30см, ширина - 26см, высота - 52см, то задняя стенка будет иметь размеры ширина х высота (26х52) или длина х высота (30х52). Будем считать, что задняя стенка имеет размеры ширины и высоты, т.е. \( 26 \times 52 \).
   \( S_{окраски} = S_{полная} - S_{задняя} = 7384 - (26 \times 52) = 7384 - 1352 = 6032 \) см².
   
   Если считать, что задняя стенка имеет размеры длины и высоты (30х52):
   \( S_{окраски} = S_{полная} - S_{задняя} = 7384 - (30 \times 52) = 7384 - 1560 = 5824 \) см².
   
   Ориентируемся на стандартное изображение ящика, где длина и ширина — это основание, а высота — перпендикуляр. Задняя стенка — это одна из граней. Примем, что она имеет размеры \( l \times h \).
   \( S_{окраски} = S_{полная} - S_{задняя} = 7384 - 1560 = 5824 \) см².
   

Ответ: Потребуется 432 см металлического уголка. Площадь поверхности, которую нужно окрасить эмалью, составляет 5824 см².