Решите задачу аналитическим и графическим способами. Дано: Функция спроса на товар Qd = 150 – 3P Функция предложения Qs = -10 + 2P Количество товара выражается – в тыс. единиц в неделю, цены – в тыс. руб. за единицу товара. Определить: 1. Равновесную цену и равновесный объем на данном рынке. 2. Коэффициенты прямой эластичности спроса и предложения по цене на интервале цен от 30 тыс. руб. за ед. до 35 тыс. руб. за ед. 3. Излишки потребителя и производителя. Чистый общественный выигрыш. 4. Правительство ввело фиксированную цену на товар на уровне 30 тыс. руб. за ед. Определите объем дефицита на рынке. 5. Как изменятся излишки потребителя и производителя? Чему будут равны чистые потери общества от введения фиксированной цены? 6. Является ли равновесие на рынке товара стабильным или нет?

Решение:

1. Равновесная цена и равновесный объем:

Равновесие на рынке достигается, когда спрос равен предложению (Qd = Qs).

\( 150 - 3P = -10 + 2P \)

\( 150 + 10 = 2P + 3P \)

\( 160 = 5P \)

\( P_e = \frac{160}{5} = 32 \) тыс. руб.

Подставим равновесную цену в функцию спроса (или предложения) для нахождения равновесного объема:

\( Q_e = 150 - 3 \cdot 32 = 150 - 96 = 54 \) тыс. единиц.

\( Q_e = -10 + 2 \cdot 32 = -10 + 64 = 54 \) тыс. единиц.

Ответ: Равновесная цена \( P_e = 32 \) тыс. руб., равновесный объем \( Q_e = 54 \) тыс. единиц.

2. Коэффициенты прямой эластичности спроса и предложения:

Формула эластичности спроса по цене: \( E_d = \frac{\Delta Q_d / Q_d}{\Delta P / P} \)

Формула эластичности предложения по цене: \( E_s = \frac{\Delta Q_s / Q_s}{\Delta P / P} \)

Эластичность спроса:

Интервал цен: от 30 до 35 тыс. руб. \( \Delta P = 35 - 30 = 5 \) тыс. руб.

При \( P_1 = 30 \): \( Q_{d1} = 150 - 3 \cdot 30 = 150 - 90 = 60 \) тыс. ед.

При \( P_2 = 35 \): \( Q_{d2} = 150 - 3 \cdot 35 = 150 - 105 = 45 \) тыс. ед.

\( \Delta Q_d = 45 - 60 = -15 \) тыс. ед.

Средняя цена: \( P_{avg} = \frac{30 + 35}{2} = 32.5 \) тыс. руб.

Средний объем: \( Q_{avg} = \frac{60 + 45}{2} = 52.5 \) тыс. ед.

\( E_d = \frac{-15 / 52.5}{5 / 32.5} = \frac{-0.2857}{0.1538} \approx -1.86 \)

Эластичность предложения:

При \( P_1 = 30 \): \( Q_{s1} = -10 + 2 \cdot 30 = -10 + 60 = 50 \) тыс. ед.

При \( P_2 = 35 \): \( Q_{s2} = -10 + 2 \cdot 35 = -10 + 70 = 60 \) тыс. ед.

\( \Delta Q_s = 60 - 50 = 10 \) тыс. ед.

Средняя цена: \( P_{avg} = 32.5 \) тыс. руб.

Средний объем: \( Q_{avg} = \frac{50 + 60}{2} = 55 \) тыс. ед.

\( E_s = \frac{10 / 55}{5 / 32.5} = \frac{0.1818}{0.1538} \approx 1.18 \)

Ответ: Коэффициент эластичности спроса \( E_d \approx -1.86 \), коэффициент эластичности предложения \( E_s \approx 1.18 \).

3. Излишки потребителя и производителя. Чистый общественный выигрыш:

Излишек потребителя (CS): Площадь треугольника под кривой спроса и над равновесной ценой.

Максимальная цена, которую потребители готовы заплатить (когда \( Q_d = 0 \)): \( 0 = 150 - 3P \Rightarrow 3P = 150 \Rightarrow P_{max} = 50 \) тыс. руб.

\( CS = \frac{1}{2} \times (P_{max} - P_e) \times Q_e = \frac{1}{2} \times (50 - 32) \times 54 = \frac{1}{2} \times 18 \times 54 = 9 \times 54 = 486 \) тыс. руб.

Излишек производителя (PS): Площадь треугольника над кривой предложения и под равновесной ценой.

Минимальная цена, по которой производители готовы продавать (когда \( Q_s = 0 \)): \( 0 = -10 + 2P \Rightarrow 2P = 10 \Rightarrow P_{min} = 5 \) тыс. руб.

\( PS = \frac{1}{2} \times (P_e - P_{min}) \times Q_e = \frac{1}{2} \times (32 - 5) \times 54 = \frac{1}{2} \times 27 \times 54 = 27 \times 27 = 729 \) тыс. руб.

Чистый общественный выигрыш (TS): Сумма излишков потребителя и производителя.

\( TS = CS + PS = 486 + 729 = 1215 \) тыс. руб.

Ответ: Излишек потребителя \( CS = 486 \) тыс. руб., излишек производителя \( PS = 729 \) тыс. руб., чистый общественный выигрыш \( TS = 1215 \) тыс. руб.

4. Объем дефицита при фиксированной цене 30 тыс. руб.:

Правительство установило фиксированную цену \( P_{fix} = 30 \) тыс. руб.

При этой цене:

Объем спроса: \( Q_d = 150 - 3 \times 30 = 150 - 90 = 60 \) тыс. ед.

Объем предложения: \( Q_s = -10 + 2 \times 30 = -10 + 60 = 50 \) тыс. ед.

Так как \( Q_d > Q_s \), возникает дефицит.

Дефицит = \( Q_d - Q_s = 60 - 50 = 10 \) тыс. ед.

Ответ: Объем дефицита на рынке составит \( 10 \) тыс. единиц.

5. Изменение излишков и чистые потери общества:

При цене \( P_{fix} = 30 \) тыс. руб.:

Излишек потребителя (CS'):

Потребители покупают \( Q_s = 50 \) тыс. ед. (так как это объем предложения, который доступен).

Максимальная цена, которую готовы заплатить за 50 ед. (из функции спроса): \( P_{d} = (150 - 50)/3 = 100/3 \approx 33.33 \) тыс. руб.

CS' = \( \frac{1}{2} \times (P_{max} - P_{fix}) \times Q_s = \frac{1}{2} \times (33.33 - 30) \times 50 = \frac{1}{2} \times 3.33 \times 50 \approx 83.25 \) тыс. руб. (Примечание: для точного расчета нужно использовать функцию спроса: \( CS' = \frac{1}{2} \times (50 - 30) \times 50 + \frac{1}{2} \times (33.33 - 30) \times 50 = 500 + 83.25 = 583.25 \) ; или более точно: \( CS' = \text{площадь трапеции} = \frac{1}{2} ( (150 - 3*30) + (150 - 3*30) ) * 30 \text{ ???} \). Лучше использовать разницу между старым CS и новоприобретенным, а также потерянным.

\( CS_{old} = 486 \). Потребители покупают меньше (50 вместо 54), но цена ниже (30 вместо 32). При цене 30, объем спроса 60. Излишек потребителя при цене 30 и объеме 50: \( CS' = \frac{1}{2}(50-30) \times 50 + \text{площадь трапеции} \). Правильнее:

\( CS' = \text{Площадь под кривой спроса от 0 до 50} - \text{стоимость покупки} \)

\( CS' = \int_0^{50} (150-3Q) dQ - 30 \times 50 \)

\( CS' = [150Q - \frac{3}{2}Q^2]_0^{50} - 1500 \)

\( CS' = (150 \times 50 - \frac{3}{2} \times 50^2) - 1500 \)

\( CS' = (7500 - \frac{3}{2} \times 2500) - 1500 \)

\( CS' = (7500 - 3750) - 1500 = 3750 - 1500 = 2250 \) тыс. руб.

Излишек производителя (PS'):

Производители продают \( Q_s = 50 \) тыс. ед. по цене \( P_{fix} = 30 \) тыс. руб.

\( PS' = \frac{1}{2} \times (P_{fix} - P_{min}) \times Q_s = \frac{1}{2} \times (30 - 5) \times 50 = \frac{1}{2} \times 25 \times 50 = 25 \times 25 = 625 \) тыс. руб.

Чистые потери общества (DWL):

Потерянный объем производства = \( Q_e - Q_s = 54 - 50 = 4 \) тыс. ед.

Потерянный общественный выигрыш = \( \frac{1}{2} \times (P_{d}(Q_s) - P_{s}(Q_s)) \times (Q_e - Q_s) \)

\( P_{d}(Q_s=50) = 150 - 3 \times 50 = 150 - 150 = 0 \) --- это неверно, \( P_d(Q_s=50) \) не может быть 0. Это цена, по которой потребители готовы купить 50 ед. \( P_d = (150 - 50)/3 = 100/3 \approx 33.33 \).

\( P_{s}(Q_s=50) = 30 \) (фиксированная цена).

\( DWL = \frac{1}{2} \times (33.33 - 30) \times 4 = \frac{1}{2} \times 3.33 \times 4 \approx 6.66 \) тыс. руб.

Более точный расчет DWL:

\( DWL = \text{площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times (Q_e - Q_s) \times (P_{d}(Q_s) - P_{s}(Q_s)) \)

\( P_{d}(Q_s=50) = (150 - 50) / 3 = 100/3 \)

\( P_{s}(Q_s=50) \) - это цена, по которой производители готовы произвести 50 ед., согласно функции предложения, но эта цена ниже фиксированной. Производители готовы произвести 50 ед. при \( P_{s} = 30 \).

\( DWL = \frac{1}{2} \times (54 - 50) \times ( (150 - 3 \times 50) - 30 ) = \frac{1}{2} \times 4 \times (100/3 - 30) = 2 \times (100/3 - 90/3) = 2 \times (10/3) = 20/3 \approx 6.67 \) тыс. руб.

Изменения в излишках:

Изменение CS: \( CS' - CS = 2250 - 486 = 1764 \) тыс. руб. (CS увеличился).

Изменение PS: \( PS' - PS = 625 - 729 = -104 \) тыс. руб. (PS уменьшился).

Ответ: Излишки потребителя увеличились до \( 2250 \) тыс. руб., излишки производителя уменьшились до \( 625 \) тыс. руб. Чистые потери общества \( DWL = 20/3 \approx 6.67 \) тыс. руб.

6. Является ли равновесие стабильным?

Равновесие на рынке считается стабильным, если при отклонении от него рынок стремится вернуться к равновесному состоянию. В данном случае, при возникновении дефицита (когда цена ниже равновесной), спрос превышает предложение, что оказывает повышательное давление на цену. По мере роста цены, объем спроса будет сокращаться, а объем предложения расти, пока не будет достигнуто равновесие \( P_e = 32 \), \( Q_e = 54 \). Таким образом, при отсутствии внешних вмешательств (как фиксированная цена), равновесие является стабильным.

Ответ: Да, равновесие на рынке является стабильным.