Решите задачу: Дано: \( \triangle ABC \) — равносторонний. \( AP \) — биссектриса \( \angle A \), \( BK ⊥ AC \), \( BK = 6 \) см. Найти: \( AB \).

Решение:

1. Так как \( \triangle ABC \) — равносторонний, то \( \angle A = \angle B = \angle C = 60^° \).
2. \( AP \) — биссектриса \( \angle A \), значит, \( \angle BAK = \angle CAP = \frac{1}{2} ∠ A = \frac{1}{2} ⋅ 60^° = 30^° \).
3. Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABK \) (так как \( BK ⊥ AC \)).
4. В \( \triangle ABK \) \( ∠ B = 90^° - ∠ BAK = 90^° - 30^° = 60^° \). (Это также следует из того, что \( ∠ B \) равностороннего треугольника равен \( 60^° \)).
5. В прямоугольном \( \triangle ABK \) имеем: \( ∠ BAK = 30^° \), \( ∠ BKA = 90^° \), \( ∠ ABK = 60^° \).
6. Мы знаем, что \( BK = 6 \) см.
7. В прямоугольном треугольнике против угла в \( 30^° \) лежит катет, равный половине гипотенузы. \( BK \) лежит против угла \( \angle BAK = 30^° \).
8. Следовательно, \( BK = \frac{1}{2} AB \).
9. Выразим \( AB \): \( AB = 2 ⋅ BK \).
10. Подставим значение \( BK \): \( AB = 2 ⋅ 6 \) см \( = 12 \) см.

Ответ: \( AB = 12 \) см.