Решите задачу: Два поезда выехали одновременно навстречу друг другу со станций А и В, расстояние между которыми 500 км. Через 3 часа расстояние между ними сократилось до 80 км, а ещё через 2 часа первому поезду осталось проехать до станции В на 30 км больше, чем второму до станции А. Найдите скорости поездов.

Решение:

• Шаг 1: Определим пройденное расстояние за первые 3 часа.
  Общее расстояние между станциями: 500 км.
  Расстояние между поездами через 3 часа: 80 км.
  Пройденное расстояние поездами за 3 часа: 500 км - 80 км = 420 км.
• Шаг 2: Найдем сумму скоростей поездов.
  Скорость сближения (сумма скоростей) = пройденное расстояние / время.
  \[ v_1 + v_2 = \frac{420 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 140 \text{ км/ч} \]
• Шаг 3: Определим расстояние, которое проехали поезда за следующие 2 часа.
  В это время расстояние между ними сократилось с 80 км до 0 км (подразумевается, что они встретились или прошли друг друга, иначе задача не решается).
  Пройденное расстояние за эти 2 часа: 80 км.
• Шаг 4: Найдем сумму скоростей за вторые 2 часа.
  \[ v_1 + v_2 = \frac{80 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 40 \text{ км/ч} \]
• Шаг 5: Анализируем противоречие.
  Получили две разные суммы скоростей (140 км/ч и 40 км/ч), что невозможно. Это означает, что условие задачи некорректно сформулировано или содержит ошибку. Предположим, что после 3 часов между поездами осталось 80 км, а затем они продолжили движение навстречу друг другу и через 2 часа (относительно момента, когда между ними было 80 км) первый поезд проехал до станции В на 30 км больше, чем второй до станции А.
• Шаг 6: Переформулируем условие для решения.
  Пусть:
  • $$v_1$$ — скорость первого поезда.
  • $$v_2$$ — скорость второго поезда.
  После 3 часов расстояние между ними 80 км. Это значит, что они проехали вместе $$500 - 80 = 420$$ км. Их суммарная скорость: $$v_1 + v_2 = \frac{420}{3} = 140$$ км/ч.
• Шаг 7: Анализируем вторую часть условия.
  Через 2 часа (то есть через 3+2=5 часов от начала движения):
  • Расстояние, пройденное первым поездом: $$5 v_1$$.
  • Расстояние, пройденное вторым поездом: $$5 v_2$$.
  • Расстояние, которое осталось первому поезду до станции В: $$500 - 5v_1$$.
  • Расстояние, которое осталось второму поезду до станции А: $$500 - 5v_2$$.
  По условию: $$500 - 5v_1 = (500 - 5v_2) + 30$$.
• Шаг 8: Упрощаем уравнение из Шага 7.
  $$-5v_1 = -5v_2 + 30$$
  $$-5v_1 + 5v_2 = 30$$
  Разделим на -5: $$v_1 - v_2 = -6$$.
• Шаг 9: Решаем систему уравнений.
  У нас есть два уравнения:
  • 1) $$v_1 + v_2 = 140$$
  • 2) $$v_1 - v_2 = -6$$
  Сложим уравнения: $$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 140 + (-6)$$
  $$2v_1 = 134$$
  \[ v_1 = \frac{134}{2} = 67 \text{ км/ч} \]
• Шаг 10: Находим скорость второго поезда.
  Подставим $$v_1$$ в первое уравнение: $$67 + v_2 = 140$$
  \[ v_2 = 140 - 67 = 73 \text{ км/ч} \]

Проверка:

• Сумма скоростей: 67 + 73 = 140 км/ч.
• Пройденное за 3 часа: $$140 \times 3 = 420$$ км. Расстояние между ними: $$500 - 420 = 80$$ км. (Верно)
• Расстояние, которое осталось первому поезду до станции В через 5 часов: $$500 - 67 \times 5 = 500 - 335 = 165$$ км.
• Расстояние, которое осталось второму поезду до станции А через 5 часов: $$500 - 73 \times 5 = 500 - 365 = 135$$ км.
• Разница: $$165 - 135 = 30$$ км. (Верно)

Ответ: Скорость первого поезда — 67 км/ч, скорость второго поезда — 73 км/ч.