Решите задачу Коши ty' + y = y²/6, у(1) = 3. В ответе укажите значение её решения при t = 2

Решим задачу Коши $$ty' + y = \frac{y^2}{6}, y(1) = 3$$.

Это уравнение Бернулли. Сделаем замену $$z = y^{-1}$$. Тогда $$z' = -y^{-2}y'$$.

Разделим исходное уравнение на $$y^2$$:

$$\frac{t}{y^2}y' + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$$

Умножим на $$-1$$:

$$-\frac{t}{y^2}y' - \frac{1}{y} = -\frac{1}{6}$$

Выразим $$y'$$:

$$-\frac{t}{y^2}y' = -\frac{1}{6} + \frac{1}{y}$$

Подставим $$z$$ и $$z'$$:

$$tz' - z = -\frac{1}{6}$$

$$z' - \frac{1}{t}z = -\frac{1}{6t}$$

Решаем как линейное уравнение. Интегрирующий множитель: $$\mu(t) = e^{\int -\frac{1}{t} dt} = e^{-\ln t} = \frac{1}{t}$$

Умножаем уравнение на интегрирующий множитель:

$$\frac{1}{t}z' - \frac{1}{t^2}z = -\frac{1}{6t^2}$$

$$\frac{d}{dt}(\frac{1}{t}z) = -\frac{1}{6t^2}$$

Интегрируем обе части:

$$\int \frac{d}{dt}(\frac{1}{t}z) dt = \int -\frac{1}{6t^2} dt$$

$$\frac{1}{t}z = \frac{1}{6t} + C$$

$$z = \frac{1}{6} + Ct$$

$$y^{-1} = \frac{1}{6} + Ct$$

Используем начальное условие $$y(1) = 3$$:

$$3^{-1} = \frac{1}{6} + C \cdot 1$$

$$\frac{1}{3} = \frac{1}{6} + C$$

$$C = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$$

Итак, общее решение:

$$y^{-1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6}t$$

$$y^{-1} = \frac{1 + t}{6}$$

$$y = \frac{6}{1 + t}$$

Теперь найдем значение решения при $$t = 2$$:

$$y(2) = \frac{6}{1 + 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Ответ: 2