Решите задачу по геометрии. Найти угол РКМ.

Дано:

Окр(O; r)

KM и KP — касательные

\( \angle OMP = 36^{\circ} \)

Найти: \( \angle PКМ \)?

Решение:

1. \( OM \) — радиус, \( KM \) — касательная. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( OM \perp KM \) и \( \angle OMK = 90^{\circ} \).
2. Угол \( \angle KMP \) состоит из двух углов: \( \angle OMP \) и \( \angle KMO \). \( \angle KMP = \angle KMO + \angle OMP \).
3. Мы знаем, что \( \angle OMK = 90^{\circ} \) и \( \angle OMP = 36^{\circ} \).
4. Тогда \( \angle KMO = \angle OMK - \angle OMP = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ} \).
5. \( KM \) и \( KP \) — отрезки касательных, проведённых из одной точки \( K \) к окружности. Следовательно, эти отрезки равны: \( KM = KP \).
6. Рассмотрим \( \triangle KMP \). Так как \( KM = KP \), то \( \triangle KMP \) — равнобедренный.
7. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \( \angle KPM = \angle PKM \).
8. Сумма углов в \( \triangle KMP \) равна \( 180^{\circ} \).
9. \( \angle PKM + \angle KPM + \angle KMP = 180^{\circ} \).
10. \( \angle PKM + \angle PKM + \angle KMP = 180^{\circ} \).
11. \( 2 \angle PKM + \angle KMP = 180^{\circ} \).
12. \( \angle KMP = 180^{\circ} - (\angle OMK - \angle OMP) = 180^{\circ} - (90^{\circ} - 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).
13. \( 2 \angle PKM + 126^{\circ} = 180^{\circ} \).
14. \( 2 \angle PKM = 180^{\circ} - 126^{\circ} \).
15. \( 2 \angle PKM = 54^{\circ} \).
16. \( \angle PKM = \frac{54^{\circ}}{2} = 27^{\circ} \).

Ответ: \( \angle PКМ = 27^{\circ} \).