Решите задачу. Составьте математическую модель Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через час из пункта В, находящемся в 40 км от пункта А, навстречу ему поплыла моторная лодка, и встретилась с плотом через 3 часа. Найдите собственную скорость моторной лодки, если скорость реки равна 4 км/ч.

Решение:

Пусть \( v_л \) — собственная скорость моторной лодки (в км/ч).

Скорость реки \( v_р = 4 \) км/ч.

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть \( v_{плот} = v_р = 4 \) км/ч.

Лодка плывёт навстречу плоту. Скорость сближения лодки и плота равна сумме их скоростей:

\( v_{сбл} = v_л + v_{плот} = v_л + 4 \) (км/ч).

Плот отправился из пункта А. Через час из пункта В (находящегося в 40 км от А) навстречу ему выплыла лодка. Встреча произошла через 3 часа после выхода лодки.

За 3 часа лодка проплыла расстояние:

\( S_л = v_л \cdot 3 \) (км).

За 3 часа плот проплыл расстояние:

\( S_{плот} = v_{плот} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \) (км).

В момент встречи лодка и плот проплыли вместе расстояние, равное расстоянию между пунктами А и В, плюс расстояние, которое плот проплыл за первый час.

Расстояние от А до В равно 40 км.

Плот за первый час проплыл \( 4 \) км.

Таким образом, общее расстояние, которое они преодолели навстречу друг другу до момента встречи, равно \( 40 + 12 = 52 \) км.

Или, можно рассмотреть движение относительно пункта А. Через 3 часа после выхода лодки (то есть через 4 часа после выхода плота), они встретились.

Расстояние, пройденное плотом за 4 часа: \( S_{плот}(4ч) = 4 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 16 \text{ км} \).

Расстояние, пройденное лодкой за 3 часа: \( S_л(3ч) = v_л \cdot 3 \text{ км} \).

Плот стартовал из А, лодка — из В. Они встретились. Расстояние от А до места встречи равно \( 16 \) км. Расстояние от В до места встречи равно \( v_л \times 3 \) км. Сумма этих расстояний равна расстоянию между А и В, то есть 40 км.

\( 16 + 3v_л = 40 \)

\( 3v_л = 40 - 16 \)

\( 3v_л = 24 \)

\( v_л = \frac{24}{3} \)

\( v_л = 8 \) км/ч.

Проверка:

Скорость плота = 4 км/ч.

Скорость лодки = 8 км/ч.

Скорость сближения = 8 + 4 = 12 км/ч.

Плот плывет 1 час, проплывает 4 км.

Остается расстояние 40 - 4 = 36 км.

Через 3 часа лодка и плот встретились. Расстояние, которое они преодолели вместе за эти 3 часа, равно 36 км.

\( 12 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 36 \text{ км} \).

Расчеты верны.

Математическая модель:

Пусть \( v_л \) — собственная скорость лодки.

\( v_{плота} = 4 \) км/ч.

\( v_{лодки} = v_л + 4 \) км/ч (скорость лодки по течению).

Плот стартовал первым. Через 1 час он проплыл \( 4 \cdot 1 = 4 \) км.

Расстояние между пунктами А и В = 40 км.

После того, как лодка отправилась, до встречи прошло 3 часа.

За эти 3 часа плот проплыл \( 4 \cdot 3 = 12 \) км.

За эти 3 часа лодка проплыла \( (v_л + 4) \cdot 3 \) км.

Общее расстояние, которое они преодолели навстречу друг другу за эти 3 часа, равно начальному расстоянию между ними (40 км минус 4 км, пройденные плотом за первый час) = \( 40 - 4 = 36 \) км.

\( 12 + (v_л + 4) \times 3 = 40 \)

\( 12 + 3v_л + 12 = 40 \)

\( 24 + 3v_л = 40 \)

\( 3v_л = 40 - 24 \)

\( 3v_л = 16 \)

\( v_л = \frac{16}{3} \) км/ч.

Переделаем условие:

Пусть \( v_л \) - собственная скорость лодки. Скорость реки \( v_р = 4 \) км/ч.

Скорость плота \( v_{плот} = 4 \) км/ч.

Скорость лодки по течению \( v_{лодка} = v_л + v_р = v_л + 4 \) км/ч.

Плот стартует из пункта А. Лодка стартует из пункта В через 1 час после плота.

Расстояние между А и В = 40 км.

Через 3 часа после старта лодки они встретились.

За эти 3 часа лодка проплыла расстояние: \( S_{лодка} = (v_л + 4) \times 3 \) км.

За эти 3 часа плот, который плыл уже 4 часа (1 час до старта лодки + 3 часа после старта лодки), проплыл расстояние: \( S_{плот} = 4 \times 4 = 16 \) км.

Место встречи от пункта А равно \( S_{плот} = 16 \) км.

Место встречи от пункта В равно \( S_{лодка} = (v_л + 4) \times 3 \) км.

Сумма расстояний от А и В до места встречи равна расстоянию между А и В:

\( S_{плот} + S_{лодка} = 40 \)

\( 16 + (v_л + 4) \times 3 = 40 \)

\( 16 + 3v_л + 12 = 40 \)

\( 28 + 3v_л = 40 \)

\( 3v_л = 40 - 28 \)

\( 3v_л = 12 \)

\( v_л = \frac{12}{3} \)

\( v_л = 4 \) км/ч.

Снова проверка:

Скорость лодки = 4 + 4 = 8 км/ч.

Плот стартует. Через 1 час он проплыл 4 км. Остается 36 км до В.

Лодка стартует. Скорость сближения = 8 (лодка) + 4 (плот) = 12 км/ч.

Время встречи = \( \frac{36 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа} \).

Все верно.

Математическая модель:

Пусть \( v_{собств} \) — собственная скорость моторной лодки.

\( v_{реки} = 4 \) км/ч.

Скорость плота \( v_{плота} = v_{реки} = 4 \) км/ч.

Скорость лодки по течению \( v_{лодки} = v_{собств} + v_{реки} = v_{собств} + 4 \) км/ч.

Плот отправился из пункта А.

Через 1 час лодка отправилась из пункта В, который находится в 40 км от А.

За первый час плот проплыл: \( S_{плота, 1ч} = v_{плота} \times 1 = 4 \times 1 = 4 \) км.

После старта лодки, расстояние между плотом и пунктом В стало: \( 40 - 4 = 36 \) км.

Лодка и плот встретились через 3 часа после старта лодки.

За эти 3 часа лодка проплыла: \( S_{лодки} = v_{лодки} \times 3 = (v_{собств} + 4) \times 3 \) км.

За эти 3 часа плот проплыл: \( S_{плота, 3ч} = v_{плота} \times 3 = 4 \times 3 = 12 \) км.

Сумма расстояний, пройденных лодкой и плотом за эти 3 часа, равна расстоянию между ними в момент старта лодки: \( S_{лодки} + S_{плота, 3ч} = 36 \) км.

\( (v_{собств} + 4) \times 3 + 12 = 36 \)

\( 3v_{собств} + 12 + 12 = 36 \)

\( 3v_{собств} + 24 = 36 \)

\( 3v_{собств} = 36 - 24 \)

\( 3v_{собств} = 12 \)

\( v_{собств} = \frac{12}{3} \)

\( v_{собств} = 4 \) км/ч.

Последняя проверка:

Собственная скорость лодки = 4 км/ч.

Скорость лодки по течению = 4 + 4 = 8 км/ч.

Скорость плота = 4 км/ч.

Плот стартует. Через 1 час он в 4 км от А.

Лодка стартует из В (40 км от А). Расстояние между лодкой и плотом = 40 - 4 = 36 км.

Скорость сближения = 8 (лодка) + 4 (плот) = 12 км/ч.

Время до встречи = \( \frac{36 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа} \).

Это совпадает с условием задачи (встретились через 3 часа).

Ответ: собственная скорость моторной лодки равна 4 км/ч.